一，二叉树的前序遍历
144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）
1，递归
思路与算法
首先我们需要了解什么是二叉树的前序遍历：按照访问根节点——左子树——右子树的方式遍历这棵树，而在访问左子树或者右子树的时候，我们按照同样的方式遍历，直到遍历完整棵树。因此整个遍历过程天然具有递归的性质，我们可以直接用递归函数来模拟这一过程。
定义 preorder(root) 表示当前遍历到 root 节点的答案。按照定义，我们只要首先将 root 节点的值加入答案，然后递归调用 preorder(root.left) 来遍历 root 节点的左子树，最后递归调用 preorder(root.right) 来遍历 root 节点的右子树即可，递归终止的条件为碰到空节点。
class Solution { public: void preorder(TreeNode *root, vector<int> &res) { if (root == nullptr) { return; } res.push_back(root->val); preorder(root->left, res); preorder(root->right, res); } vector<int> preorderTraversal(TreeNode *root) { vector<int> res; preorder(root, res); return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉树的节点数。每一个节点恰好被遍历一次。
空间复杂度：O(n)，为递归过程中栈的开销，平均情况下为 O(logn)，最坏情况下树呈现链状，为 O(n)。
2，迭代
思路与算法
我们也可以用迭代的方式实现方法一的递归函数，两种方式是等价的，区别在于递归的时候隐式地维护了一个栈，而我们在迭代的时候需要显式地将这个栈模拟出来，其余的实现与细节都相同，具体可以参考下面的代码。
class Solution { public: vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) { vector<int> res; if (root == nullptr) { return res; } stack<TreeNode*> stk; TreeNode* node = root; while (!stk.empty() || node != nullptr) { while (node != nullptr) { res.emplace_back(node->val); stk.emplace(node); node = node->left; } node = stk.top(); stk.pop(); node = node->right; } return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 nn 是二叉树的节点数。每一个节点恰好被遍历一次。
空间复杂度：O(n)，为迭代过程中显式栈的开销，平均情况下为 O(logn)，最坏情况下树呈现链状，为 O(n)。
3，Morris 遍历
思路与算法
有一种巧妙的方法可以在线性时间内，只占用常数空间来实现前序遍历。这种方法由 J. H. Morris 在 1979 年的论文「Traversing Binary Trees Simply and Cheaply」中首次提出，因此被称为 Morris 遍历。
Morris 遍历的核心思想是利用树的大量空闲指针，实现空间开销的极限缩减。其前序遍历规则总结如下：
新建临时节点，令该节点为 root；
如果当前节点的左子节点为空，将当前节点加入答案，并遍历当前节点的右子节点；
如果当前节点的左子节点不为空，在当前节点的左子树中找到当前节点在中序遍历下的前驱节点：
如果前驱节点的右子节点为空，将前驱节点的右子节点设置为当前节点。然后将当前节点加入答案，并将前驱节点的右子节点更新为当前节点。当前节点更新为当前节点的左子节点。
如果前驱节点的右子节点为当前节点，将它的右子节点重新设为空。当前节点更新为当前节点的右子节点。
重复步骤 2 和步骤 3，直到遍历结束。
这样我们利用 Morris 遍历的方法，前序遍历该二叉树，即可实现线性时间与常数空间的遍历。
class Solution { public: vector<int> preorderTraversal(TreeNode *root) { vector<int> res; if (root == nullptr) { return res; } TreeNode *p1 = root, *p2 = nullptr; while (p1 != nullptr) { p2 = p1->left; if (p2 != nullptr) { while (p2->right != nullptr && p2->right != p1) { p2 = p2->right; } if (p2->right == nullptr) { res.emplace_back(p1->val); p2->right = p1; p1 = p1->left; continue; } else { p2->right = nullptr; } } else { res.emplace_back(p1->val); } p1 = p1->right; } return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 nn 是二叉树的节点数。没有左子树的节点只被访问一次，有左子树的节点被访问两次。
空间复杂度：O(1)。只操作已经存在的指针（树的空闲指针），因此只需要常数的额外空间。
二，二叉树的中序遍历
94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）
1，递归
思路与算法
首先我们需要了解什么是二叉树的中序遍历：按照访问左子树——根节点——右子树的方式遍历这棵树，而在访问左子树或者右子树的时候我们按照同样的方式遍历，直到遍历完整棵树。因此整个遍历过程天然具有递归的性质，我们可以直接用递归函数来模拟这一过程。
定义 inorder(root) 表示当前遍历到 root 节点的答案，那么按照定义，我们只要递归调用inorder(root.left) 来遍历 root 节点的左子树，然后将 root 节点的值加入答案，再递归调用inorder(root.right) 来遍历 root 节点的右子树即可，递归终止的条件为碰到空节点。
class Solution { public: void inorder(TreeNode* root, vector<int>& res) { if (!root) { return; } inorder(root->left, res); res.push_back(root->val); inorder(root->right, res); } vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) { vector<int> res; inorder(root, res); return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 nn 为二叉树节点的个数。二叉树的遍历中每个节点会被访问一次且只会被访问一次。
空间复杂度：O(n)。空间复杂度取决于递归的栈深度，而栈深度在二叉树为一条链的情况下会达到 O(n) 的级别。
2，迭代
方法一的递归函数我们也可以用迭代的方式实现，两种方式是等价的，区别在于递归的时候隐式地维护了一个栈，而我们在迭代的时候需要显式地将这个栈模拟出来，其他都相同，具体实现可以看下面的代码。
class Solution { public: vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) { vector<int> res; stack<TreeNode*> stk; while (root != nullptr || !stk.empty()) { while (root != nullptr) { stk.push(root); root = root->left; } root = stk.top(); stk.pop(); res.push_back(root->val); root = root->right; } return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 nn 为二叉树节点的个数。二叉树的遍历中每个节点会被访问一次且只会被访问一次。
空间复杂度：O(n)。空间复杂度取决于栈深度，而栈深度在二叉树为一条链的情况下会达到 O(n) 的级别。
3，Morris 中序遍历
思路与算法
Morris 遍历算法是另一种遍历二叉树的方法，它能将非递归的中序遍历空间复杂度降为 O(1)。
Morris 遍历算法整体步骤如下（假设当前遍历到的节点为 x）：
1，如果 x 无左孩子，先将 x 的值加入答案数组，再访问 x 的右孩子，即 x =x.right
2，如果 x 有左孩子，则找到 x 左子树上最右的节点（即左子树中序遍历的最后一个节点，x 在中序遍历中的前驱节点），我们记为 predecessor。根据 \textit{predecessor}predecessor 的右孩子是否为空，进行如下操作。
如果 predecessor 的右孩子为空，则将其右孩子指向 x，然后访问 x 的左孩子，即 x =x.left。
如果 predecessor 的右孩子不为空，则此时其右孩子指向 x，说明我们已经遍历完 x 的左子树，我们将 predecessor 的右孩子置空，将 x 的值加入答案数组，然后访问 x 的右孩子，即 x=x.right。
重复上述操作，直至访问完整棵树。
其实整个过程我们就多做一步：假设当前遍历到的节点为 x，将 x 的左子树中最右边的节点的右孩子指向 x，这样在左子树遍历完成后我们通过这个指向走回了 x，且能通过这个指向知晓我们已经遍历完成了左子树，而不用再通过栈来维护，省去了栈的空间复杂度。
class Solution { public: vector<int> inorderTraversal(TreeNode* root) { vector<int> res; TreeNode *predecessor = nullptr; while (root != nullptr) { if (root->left != nullptr) { // predecessor 节点就是当前 root 节点向左走一步，然后一直向右走至无法走为止 predecessor = root->left; while (predecessor->right != nullptr && predecessor->right != root) { predecessor = predecessor->right; } // 让 predecessor 的右指针指向 root，继续遍历左子树 if (predecessor->right == nullptr) { predecessor->right = root; root = root->left; } // 说明左子树已经访问完了，我们需要断开链接 else { res.push_back(root->val); predecessor->right = nullptr; root = root->right; } } // 如果没有左孩子，则直接访问右孩子 else { res.push_back(root->val); root = root->right; } } return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 nn 为二叉搜索树的节点个数。Morris 遍历中每个节点会被访问两次，因此总时间复杂度为 O(2n)=O(n)。
空间复杂度：O(1)。
三，二叉树的后序排序
145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）
1，递归
思路与算法
首先我们需要了解什么是二叉树的后序遍历：按照访问左子树——右子树——根节点的方式遍历这棵树，而在访问左子树或者右子树的时候，我们按照同样的方式遍历，直到遍历完整棵树。因此整个遍历过程天然具有递归的性质，我们可以直接用递归函数来模拟这一过程。
定义 postorder(root) 表示当前遍历到 root 节点的答案。按照定义，我们只要递归调用 postorder(root->left) 来遍历 root 节点的左子树，然后递归调用 postorder(root->right) 来遍历 root 节点的右子树，最后将 root 节点的值加入答案即可，递归终止的条件为碰到空节点。
class Solution { public: void postorder(TreeNode *root, vector<int> &res) { if (root == nullptr) { return; } postorder(root->left, res); postorder(root->right, res); res.push_back(root->val); } vector<int> postorderTraversal(TreeNode *root) { vector<int> res; postorder(root, res); return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉搜索树的节点数。每一个节点恰好被遍历一次。
空间复杂度：O(n)，为递归过程中栈的开销，平均情况下为O(logn)，最坏情况下树呈现链状，为 O(n)。
2，迭代
我们也可以用迭代的方式实现方法一的递归函数，两种方式是等价的，区别在于递归的时候隐式地维护了一个栈，而我们在迭代的时候需要显式地将这个栈模拟出来，其余的实现与细节都相同，具体可以参考下面的代码。
class Solution { public: vector<int> postorderTraversal(TreeNode *root) { vector<int> res; if (root == nullptr) { return res; } stack<TreeNode *> stk; TreeNode *prev = nullptr; while (root != nullptr || !stk.empty()) { while (root != nullptr) { stk.emplace(root); root = root->left; } root = stk.top(); stk.pop(); if (root->right == nullptr || root->right == prev) { res.emplace_back(root->val); prev = root; root = nullptr; } else { stk.emplace(root); root = root->right; } } return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉搜索树的节点数。每一个节点恰好被遍历一次。
空间复杂度：O(n)，为迭代过程中显式栈的开销，平均情况下为 O(logn)，最坏情况下树呈现链状，为 O(n)。
3，Morris 遍历
思路与算法
有一种巧妙的方法可以在线性时间内，只占用常数空间来实现后序遍历。这种方法由 J. H. Morris 在 1979 年的论文「Traversing Binary Trees Simply and Cheaply」中首次提出，因此被称为 Morris 遍历。
Morris 遍历的核心思想是利用树的大量空闲指针，实现空间开销的极限缩减。其后序遍历规则总结如下：
新建临时节点，令该节点为 root；
如果当前节点的左子节点为空，则遍历当前节点的右子节点；
如果当前节点的左子节点不为空，在当前节点的左子树中找到当前节点在中序遍历下的前驱节点；
如果前驱节点的右子节点为空，将前驱节点的右子节点设置为当前节点，当前节点更新为当前节点的左子节点。
如果前驱节点的右子节点为当前节点，将它的右子节点重新设为空。倒序输出从当前节点的左子节点到该前驱节点这条路径上的所有节点。当前节点更新为当前节点的右子节点。
重复步骤 2 和步骤 3，直到遍历结束。
这样我们利用 Morris 遍历的方法，后序遍历该二叉搜索树，即可实现线性时间与常数空间的遍历。
class Solution { public: void addPath(vector<int> &vec, TreeNode *node) { int count = 0; while (node != nullptr) { ++count; vec.emplace_back(node->val); node = node->right; } reverse(vec.end() - count, vec.end()); } vector<int> postorderTraversal(TreeNode *root) { vector<int> res; if (root == nullptr) { return res; } TreeNode *p1 = root, *p2 = nullptr; while (p1 != nullptr) { p2 = p1->left; if (p2 != nullptr) { while (p2->right != nullptr && p2->right != p1) { p2 = p2->right; } if (p2->right == nullptr) { p2->right = p1; p1 = p1->left; continue; } else { p2->right = nullptr; addPath(res, p1->left); } } p1 = p1->right; } addPath(res, root); return res; } };
复杂度分析
时间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉树的节点数。没有左子树的节点只被访问一次，有左子树的节点被访问两次。
空间复杂度：O(1)。只操作已经存在的指针（树的空闲指针），因此只需要常数的额外空间。
