[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第6章 Hilbert 空间
1. 证明满足 (6) 的范数可以由一个内积诱导出来. 这个结论属于 von Neumann.
证明: 以实线性空间为例, 取内积 $$\bex \sex{x,y}=\cfrac{1}{4}[\sen{x+y}^2-\sen{x-y}^2], \eex$$ 则 $\sex{x,y}$ 为内积, 且 $\sex{x,x}^\frac{1}{2}=\sen{x}$.
[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第2章 线性映射
1. 验证两个线性映射的复合仍是线性映射而且满足分配律: $$\bex {\bf M}({\bf N}+{\bf K})={\bf M}{\bf N}+{\bf M}{\bf K},\quad ({\bf M}+{\bf K}){\bf N}={\bf M}{\bf N}+{\bf K}{\bf N}.
对合矩阵的两个性质
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2=E$. 证明: (1) $A$ 相似于形如 $\dps{\sex{\ba{cc} E_s&\\ &-E_{n-s} \ea}}$ 的矩阵; (2) 对于任何正整数 $m,k$, 都有 $$\bex \rank(A+E)^m+\rank(A-E)^k=n.
