蚁群算法(ant colony algorithm,ACA)是由意大利学者M.Dorigo等人于20世纪90年代初提出的一种新的模拟进化算法，其真实地模拟了自然界蚂蚁群体的觅食行为。M.Dorigo等人将其用于解决旅行商问题(traveling salesman problem,TSP),并取得了较好的实验结果。
近年来，许多专家学者致力于蚁群算法的研究，并将其应用于交通、通信、化工、电力等领域，成功解决了许多组合优化问题，如调度问题(job-shop scheduling problem)、指派问题(quadratic assignment problem)、旅行商问题(traveling salesman problem)等。本章将详细阐述蚁群算法的基本思想及原理，并以实例的形式介绍其应用于解决中国旅行商问题(chineseTSP,CTSP)的情况。
1 理论基础
1.1 蚁群算法基本思想
生物学家研究发现，自然界中的蚂蚁觅食是一个群体性行为，并非单只蚂蚁自行寻找食物。蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其他蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征路径的远近，信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即最短距离。值得一提的是，生物学家同时发现，路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。
将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。
1.2 蚁群算法解决TSP问题基本原理
本节将用数学语言对上述蚁群算法的基本思想进行抽象描述，并详细阐述蚁群算法用于解决TSP问题的基本原理。
不失一般性，设整个蚂蚁群体中蚂蚁的数量为m，城市的数量为n，城市i与城市j之间的距离为dij(i,j=1,2,…,n)，t时刻城市i与城市j连接路径上的信息素浓度为
。初始时刻，各个城市间连接路径上的信息素浓度相同，不妨设为
。
蚂蚁k(k=1,2,…,m)根据各个城市间连接路径上的信息素浓度决定其下一个访问城市，设
表示t时刻蚂蚁k从城市i转移到城市j的概率，其计算公式为
其中， 
为启发函数，
表示蚂蚁从城市i转移到城市j的期望程度；allowk(k=1,2,…,m)为蚂蚁k待访问城市的集合，开始时，allowk中有(n-1)个元素，即包括除了蚂蚁k出发城市的其他所有城市，随着时间的推进，allow;中的元素不断减少，直至为空，即表示所有的城市均访问完毕；α为信息素重要程度因子，其值越大，表示信息素的浓度在转移中起的作用越大；β为启发函数重要程度因子，其值越大，表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离短的城市。
如前文所述，在蚂蚁释放信息素的同时，各个城市间连接路径上的信息素逐渐消失，设参数ρ(0<ρ<1)表示信息素的挥发程度。因此，当所有蚂蚁完成一次循环后，各个城市间连接路径上的信息素浓度需进行实时更新，即
上述3种模型中，ant cycle system模型利用蚂蚁经过路径的整体信息(经过路径的总长)计算释放的信息素浓度；ant quantity system模型则利用蚂蚁经过路径的局部信息(经过各个城市间的距离)计算释放的信息素浓度；而ant density system模型则更为简单地将信息素释放的浓度取为恒值，并没有考虑不同蚂蚁经过路径长短的影响。因此，一般选用ant cyclesystem模型计算释放的信息素浓度，即蚂蚁经过的路径越短，释放的信息素浓度越高。
1.3 蚁群算法解决TSP问题基本步骤
基于上述原理，将蚁群算法应用于解决TSP问题一般需要以下几个步骤，如图1所示。
图1 蚁群算法解决TSP问题基本步骤
1.初始化参数
在计算之初，需要对相关的参数进行初始化，如蚁群规模(蚂蚁数量)m、信息素重要程度因子α、启发函数重要程度因子β、信息素挥发因子ρ、信息素释放总量Q、最大迭代次数iter_max、迭代次数初值iter=1。
2.构建解空间
将各个蚂蚁随机地置于不同出发点，对每个蚂蚁k(k=1,2,…,m),按照式(22-1)计算其下一个待访问的城市，直到所有蚂蚁访问完所有的城市。
3.更新信息素
计算各个蚂蚁经过的路径长度Lk(k=1,2,…,m)，记录当前迭代次数中的最优解(最短路径)。同时，根据式(22-2)和式(22-3)对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。
4.判断是否终止
若iter<iter_max,则令iter=iter+1,清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤2;否则，终止计算，输出最优解。
1.4 蚁群算法的特点
基于蚁群算法的基本思想及解决TSP问题的基本原理，不难发现，与其他优化算法相比，蚁群算法具有以下几个特点：
(1)采用正反馈机制，使得搜索过程不断收敛，最终逼近最优解。
(2)每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知周围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接地通讯。
(3)搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行并行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率。
(4)启发式的概率搜索方式不容易陷入局部最优，易于寻找到全局最优解。
2 案例背景
2.1 问题描述
按照枚举法，我国31个直辖市、省会和自治区首府的巡回路径应有约1.326×10^32种，其中一条路径如图2所示。试利用蚁群算法寻找到一条最佳或者较佳的路径。
图2我国31个直辖市、省会和自治区首府(未包括我国香港、澳门及台湾)巡回路径
2.2 解题思路及步骤
依据蚁群算法解决TSP问题的基本原理及步骤，实现中国TSP问题求解大体上可以分为以下几个步骤，如图3所示。
图3蚁群算法求解TSP问题一般步骤
1.计算城市间相互距离
根据城市的位置坐标，计算两两城市间的相互距离，从而得到对称的距离矩阵(维数为31的方阵)。需要说明的是，计算出的矩阵对角线上的元素为0,然而如前文所述，由于启发函数ηij(t)=1/dij,因此，为了保证分母不为零，将对角线上的元素修正为一个非常小的正数(如10^(-4)或10^(-5)等)。
2.初始化参数
如前文所述，在计算之前，需要对相关的参数进行初始化，此处不再赘述。
3.迭代寻找最佳路径
首先构建解空间，即各个蚂蚁根据转移概率公式(22-1)访问所有的城市。然后计算各个蚂蚁经过路径的长度，并在每次迭代后根据式(22-2)和式(22-3)实时更新各个城市连接路径上的信息素浓度。经过循环迭代，记录下最优的路径及其长度。
4.结果分析
找到最优路径后，可以将之与其他方法得出的结果进行比较，从而对蚁群算法的性能进行评价。同时，也可以探究不同取值的参数对优化结果的影响，从而找到一组最佳或者较佳的参数组合。
3MATLAB程序实现
利用MATLAB中提供的函数，可以方便地在MATLAB环境下实现上述步骤。
%% 清空环境变量 clear all clc %% 导入数据 load citys_data.mat %% 计算城市间相互距离 n = size(citys,1); D = zeros(n,n); for i = 1:n for j = 1:n if i ~= j D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2)); else D(i,j) = 1e-4; end end end %% 初始化参数 m = 50; % 蚂蚁数量 alpha = 1; % 信息素重要程度因子 beta = 5; % 启发函数重要程度因子 rho = 0.1; % 信息素挥发因子 Q = 1; % 常系数 Eta = 1./D; % 启发函数 Tau = ones(n,n); % 信息素矩阵 Table = zeros(m,n); % 路径记录表 iter = 1; % 迭代次数初值 iter_max = 200; % 最大迭代次数 Route_best = zeros(iter_max,n); % 各代最佳路径 Length_best = zeros(iter_max,1); % 各代最佳路径的长度 Length_ave = zeros(iter_max,1); % 各代路径的平均长度 %% 迭代寻找最佳路径 while iter <= iter_max % 随机产生各个蚂蚁的起点城市 start = zeros(m,1); for i = 1:m temp = randperm(n); start(i) = temp(1); end Table(:,1) = start; % 构建解空间 citys_index = 1:n; % 逐个蚂蚁路径选择 for i = 1:m % 逐个城市路径选择 for j = 2:n tabu = Table(i,1:(j - 1)); % 已访问的城市集合(禁忌表) allow_index = ~ismember(citys_index,tabu); allow = citys_index(allow_index); % 待访问的城市集合 P = allow; % 计算城市间转移概率 for k = 1:length(allow) P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta; end P = P/sum(P); % 轮盘赌法选择下一个访问城市 Pc = cumsum(P); target_index = find(Pc >= rand); target = allow(target_index(1)); Table(i,j) = target; end end % 计算各个蚂蚁的路径距离 Length = zeros(m,1); for i = 1:m Route = Table(i,:); for j = 1:(n - 1) Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1)); end Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1)); end % 计算最短路径距离及平均距离 if iter == 1 [min_Length,min_index] = min(Length); Length_best(iter) = min_Length; Length_ave(iter) = mean(Length); Route_best(iter,:) = Table(min_index,:); else [min_Length,min_index] = min(Length); Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length); Length_ave(iter) = mean(Length); if Length_best(iter) == min_Length Route_best(iter,:) = Table(min_index,:); else Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:); end end % 更新信息素 Delta_Tau = zeros(n,n); % 逐个蚂蚁计算 for i = 1:m % 逐个城市计算 for j = 1:(n - 1) Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i); end Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i); end Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau; % 迭代次数加1，清空路径记录表 iter = iter + 1; Table = zeros(m,n); end %% 结果显示 [Shortest_Length,index] = min(Length_best); Shortest_Route = Route_best(index,:); disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]); disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]); %% 绘图 figure(1) plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],... [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-'); grid on for i = 1:size(citys,1) text(citys(i,1),citys(i,2),[' ' num2str(i)]); end text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),' 起点'); text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),' 终点'); xlabel('城市位置横坐标') ylabel('城市位置纵坐标') title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')']) figure(2) plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:') legend('最短距离','平均距离') xlabel('迭代次数') ylabel('距离') title('各代最短距离与平均距离对比')
程序运行之前，清除工作空间Workspace中的变量及Command Window中的命令。31个城市的位置坐标(横坐标、纵坐标)保存在citys_data.mat文件中，变量citys为31行2列的数据，第1列表示各个城市的横坐标，第2列表示各个城市的纵坐标。利用城市的横、纵坐标，可以方便地计算出城市间的相互距离。如前文所述，距离矩阵D对角线上的元素设为10^(-4),以便于计算启发函数。计算之前，需要对参数进行初始化。同时，为了加快程序的执行速度，对于程序中涉及的一些过程变量，需要预分配其存储容量。迭代寻找最佳路径为整个算法的核心，首先逐个蚂蚁逐个城市访问，直至遍历所有城市，以构建问题的解空间，然后计算各个蚂蚁经过路径的长度，记录下当前迭代次数中的最佳路径，并实时对各个城市间连接路径上的信息素浓度进行更新，最终经过多次迭代，寻找到最佳路径。
说明：
(1)变量tabu中存储的是已经访问过的城市编号集合，即所谓的“禁忌表”,刚开始时其只存储起始城市编号，随着时间的推进，其中的元素愈来愈多，直至访问到最后一个城市为止。
(2)与变量tabu相反，变量allow中存储的是待访问的城市编号集合，刚开始时其存储了除起始城市编号外的所有城市编号，随着时间的推进，其中的元素愈来愈少，直至访问到最后一个城市为止.
(3)函数ismember用于判断一个变量中的元素是否在另一个变量中出现，具体用法请参考帮助文档，此处不再赘述。
(4)函数cumsum用于求变量中元素的累加和，具体用法请参考帮助文档，此处不再赘述。
(5)计算完城市间的转移概率后，采用与遗传算法中一样的轮盘赌方法选择下一个待访问的城市。
与运行结果对应的路径如图4所示。从图中可以清晰地看到，自起点出发，每个城市访问一次，遍历所有城市后，返回起点。寻找到的最短路径为15828.7082 km。各代的最短距离与平均距离如图5所示，从图中不难发现，随着迭代次数的增加，最短距离与平均距离均呈现不断下降的趋势。当迭代次数大于130时，最短距离已不再变化，表示已经寻找到最佳路径。最新研究成果表明，中国TSP问题的最优解为15377 km,因此，这里寻找到的最佳路径是局部最优解，而并非全局最优解。
4 延伸阅读
4.1 参数的影响及选择
1.蚂蚊个数m对结果的影响
为了探究蚂蚁个数m对最优路径的影响，对比10组不同蚂蚁个数对应的最优路径情况。每组运行20次，结果如表1所列。由表1可以看出，当蚂蚁个数为35时，平均最短路径最短为15613km,此时有最短路径的最小值15518 km。
2.信息素重要程度因子α对结果的影响
为了研究信息素重要程度因子α对最优路径的影响，对比10组不同α对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果见表2。可以看出，当α=6时，平均最短路径最小为16212 km。
3.启发函数重要程度因子β对结果的影响
为了研究启发函数重要程度因子β对最优路径的影响，对比10组不同β对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果如表3所列。由表22-3可以直观地看出，当β=7时，平均最短路径最小为15823km, 此时对应的最短路径为15602 km。
4.信息素挥发因子p对结果的影响
为了研究信息素挥发因子p对最优路径的影响，对比5组不同p对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果如表4所列。由表4可以直观地看出，当p=0.1时，平均最短路径最小为16005km,此时对应的最短路径为15602 km。
5.信息素释放总量Q对结果的影响
为了研究信息素释放总量Q对最优路径的影响，对比10组不同Q对应的寻找到的最优路径的情况，每组运行20次，结果如表5所列。由表5可以直观地看出，当Q=50时，平均最短路径最小为16046 km,此时对应的最短路径为15602 km。
4.2 总结
蚁群算法以其分布并行式计算、启发式搜索方式等特点，在各个领域中取得了广泛的应用，解决了诸多组合优化方面的难题。针对其可能陷入局部最优的缺点，不少专家和学者提出了许多改进的方法，并将其他算法(如遗传算法、粒子群算法等)与蚁群算法相结合，对蚂蚁个数m、信息素重要程度因子a、启发函数重要程度因子β、信息素挥发因子p、信息素释放总量Q等参数进行优化选择，取得了不错的效果。
5 完整代码获取
完整代码可以从下面的链接中获取：
