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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.1

1. 设 $A\in M_n$. 证明若 $AA^*=A^2$, 则 $A^*=A$.     证明: 由 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex A=U^*BU, \eex$$ 其中 $B=(b_{ij})$ 为上三角阵.

只要醒着,你就必须思考数学---樊畿

You have to think about mathematics every waking moment!---Ky Fan   本文转载自''樊畿---为数学而生,数学乃是他的生命, 数学进展, 第40卷第1期, 2011年, 1-10.  

[再寄小读者之数学篇](2014-10-31 利用夹逼原理求极限)

设 $a,b,c>0$, 求极限 $$\bex \vlm{x}\sex{\frac{a^x+b^x+c^x}{3}}^x. \eex$$   解答: 不妨设 $a=\max\sed{a,b,c}$, 则 $$\bex \frac{a}{3^\frac{1}{x}}=\sex{\frac{a^x}...

[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 Frobenius 范数是酉不变范数)

对任两酉阵 $U,V$, 有 $$\bex \sen{A}_F=\sen{UAV}_F. \eex$$   事实上, $$\beex \bea \sen{UAV}_F^2&=\tr(V^*A^*U^*\cdot UAV)\\ &=\tr (V^*A^*AV)\\ &=\tr(AVV^*A^*)...

西南大学2012年数学分析考研试题

西南大学2012年高等代数考研试题

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.9

9. 记 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$. 复合矩阵映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗?     解答: 当 $k=1$ 时, $C_k(A)$ 就是 $A$ 的每个元素.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.8

8. 设 $k\leq m\leq n$. 怎样的矩阵 $A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素?     解答: 由定理 2.5 (K\"onig), $A$ 的每条对角线都含有 $k$ 个零元素 $\lra$ $A$ 有一个 $r\times s$ 的零子矩阵,...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.7

7. (Marcus-Ree) 一个非负矩阵称为是双随机的, 若它的每行元素之和等于 $1$, 且它的每列元素之和也等于 $1$. 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶双随机矩阵, 则存在 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列 $\sigma$ 使得对每个 $i=1,\cdots,n$,...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.6

6. (Embry) 我们说两个矩阵 $X$, $Y$ 可交换是指乘法可交换, 即 $XY=YX$. 设 $A,B\in M_n$ 满足 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$. 如果 $C\in M_n$, $C$ 与 $A+B$ 可交换并且 $C$ 与 $AB$ 可交换, 则 $C$ 与 $A$ 和 $B$ 都可交换.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.5

5. 设 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $C\in M_{m,n}$. 若 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$, 则 $$\bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.4

4. 设 $A=\diag(A_1,\cdots,A_k)\in M_n$, 其中 $A_i\in M_{n_i}$, 且 $\sigma(A_i)\cap \sigma(A_j)=\vno$, $i\neq j$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.3

3. 设 $A,B\in M_n$, $A$ 正定, $B$ 半正定且对角元素都是正数, 则 $A\circ B$ 正定.     证明: 由 Schur 定理, $A\circ B$ 半正定, 而其特征值 $\geq 0$.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.2

2. 给出定理 2.4 的另一个证明.     证明: 设 $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ 半正定 (正定), 要证 $A$ 和 $B$ 的 Hadamard 积 $$\bex A\circ B=(a_{ij}b_{ij}) \eex$$ 也半正定 (正定).

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.1

1. 对于怎样的 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $A\otimes B=I$?     解答:     写出     $$\bex     A\otimes B=\sex{\ba{ccc}     a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\     \vdots&\ddots&\vdots\\     a_{n1}B&\cdots&a_{nn}B     \ea}.

[家里蹲大学数学杂志]第328期詹兴致矩阵论习题参考解答

说明:  1. 大部分是自己做的, 少部分是参考文献做的, 还有几个直接给出参考文献. 2. 如果您有啥好的想法, 好的解答, 热切地欢迎您告知我, 或者在相应的习题解答网页上回复. 哪里有错误, 也盼望您指出.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.14

14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?     解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, 使得 $$\bex...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.13

13. (Li-Poon) 证明: 每个实方阵都可以写成 $4$ 个实正交矩阵的线性组合, 即若 $A$ 是个实方阵, 则存在实正交矩阵 $Q_i$ 和实数 $r_i$, $i=1,2,3,4$, 使得 $$\bex A=r_1Q_1+r_2Q_2+r_3Q_3+r_4Q_4.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.12

12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 $A\in M_n$, $B,C\in M_{n,k}$ 使得 $I+C^*A^{-1}B$ 可逆, 其中 $I$ 是单位阵. 证明 $A+BC^*$ 可逆且 $$\bex (A+BC^*)^{-1} =A^{-1} -A^{-1}B (I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.11

11. (Gersgorin 圆盘定理) 用 $\sigma(A)$ 表示 $A=(a_{ij})\in M_n$ 的特征值的集合, 记 $$\bex D_i=\sed{z\in\bbC;\ |z-a_{ii}|\leq \sum_{j\neq i}|a_{ij}|},\quad i=1,\cdots,n.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.10

10. 矩阵 $A=(a_{ij})\in M_n$ 称为严格对角占优, 如果 $$\bex |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|,\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: 严格对角占优矩阵是可逆的.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.9

9. 证明对任意的复方阵 $A$, $$\bex \rho(A)\leq w(A)\leq \sen{A}_\infty. \eex$$     证明: 对 $\lm\in \sigma(A)$, $$\bex \exists\ x:\ \sen{x}_2=1,\st Ax=\lm x.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.8

8. 证明任何一个复方阵都酉相似于某个对角元素全部相等的矩阵.     证明: (1). 先证每个迹为零的矩阵都酉相似于对角元素全为零的矩阵. 对阶 $n$ 作数学归纳法. 当 $n=1$ 时, 结论自明.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.7

7. 设 $A_j\in M_n$, $j=1,\cdots,m$, $m>n$, 且 $\dps{\sum_{j=1}^m A_j}$ 非奇异 (即可逆). 证明: 存在 $S\subset \sed{1,2,\cdots,m}$ 满足 $|S|\leq n$ 且 $\dps{\sum_{j\in S}A_j}$ 非奇异.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.6

6. 设 $A\in M_{m,n}$, $B\in M_{n,m}$. 证明: $$\bex \sex{\ba{cc} AB&0\\ B&0 \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} 0&0\\ B&BA \ea} \eex$$ 相似, 从而给出定理 1.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.5

5. (Gelfand) 设 $A\in M_n$, 证明: $$\bex \rho(A)=\vlm{k}\sen{A^k}_\infty^\frac{1}{k}. \eex$$     证明: (1).

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.4

4. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 和谱范数 $\sen{\cdot}_\infty$ 满足如下关系: $$\bex \frac{1}{2}\sen{A}_{\infty} \leq w(A)\leq \sen{A}_\infty,\quad A\in M_n.

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.3

3. 证明数值半径 $w(\cdot)$ 是 $M_n$ 上的一个范数.     证明: (1). $$\beex \bea w(A)&\geq 0;\\ w(A)=0&\ra x^*Ax=0,\quad \forall\ x\\ &\ra x^*Ay=\frac{1}{4} \sum_{k=...

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.2

2. (Oldenburgere) 设 $A\in M_n$, $\rho(A)$ 表示 $A$ 的谱半径, 即 $A$ 的特征值的模的最大者. 证明: $$\bex \vlm{k}A^k=0\lra \rho(A)

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.1

1. 设 $a_1,\cdots,a_n$ 为正实数, 证明矩阵 $$\bex \sex{\frac{1}{a_i+a_j}}_{n\times n} \eex$$ 半正定.     证明: $$\beex \bea \sum_{i,j=1}^n \frac{1}{a_i+a_j}x_ix_j...

中国科学技大学2014年数学分析考研试题

中国科学技大学2014年线性代数与解析几何考研试题

数学铭

中山大学2014年数学分析考研试题

中山大学2014年高等代数考研试题

宁波大学2014年数学分析考研试题

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数学专业考研试题目录

南京师范大学2014年高等代数考研试题   宁波大学2014年高等代数考研试题 宁波大学2014年数学分析考研试题   西南大学2012年高等代数考研试题 西南大学2012年数学分析考研试题   中国科学技大学2014年线性代数与解析几何考研试题 中国科学技大学2014年数学分析考...

[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 两曲面围成的区域的体积与表面积)

(from M.J. Shu) 设立体 $\vSa$ 由 $x^2+y^2=2z$ 与 $z=4-\sqrt{x^2+y^2}$ 围成, 求 $\vSa$ 的体积与表面积.   解答: 该区域由旋转抛物面与圆锥面围成.

南京师范大学2014年高等代数考研试题

武汉大学2014年基础数学复试试题参考解答

来源 [尊重原有作者劳动成果]   2014年武汉大学基础数学复试试题解答 时间：2014年3月22日8:30—10:30 专业：基础数学   一、（10分）已知函数$f(x)$在$(-1,1)$上连续，在除$x=0$上存在导函数 （1）若$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)$存在，证明存在； （2）若$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)$不存在，则$f(0)$一定不存在吗？若不存在，说明理由；若存在，请给出反例并证明。

华中师范大学2008年数学分析考研试题参考解答

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一、 计算题 1：解： $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sqrt[n]{n(n+1)(n+2)\cdots (2n-1)}=\underset{n\to +\infty }{\m...

武汉大学2013年数学分析考研试题参考解答

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一： 1：解：\[\because \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ln (1+x)=x\] \[\therefore \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n...

华中师范大学2007年数学分析考研试题参考解答

来源  [尊重原有作者劳动成果] 一、 计算题 1：解：由于 $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (1-x)}{-x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}...

华中师范大学2011年数学分析考研试题参考解答

来源 [尊重原有作者劳动成果]   一、 （1）证明：由于${{x}_{1}}\in (0,\frac{\pi }{2}),{{x}_{n+1}}=\sin {{x}_{n}}$，则${{x}_{n}}\in (0,\frac{\pi }{2}),n=1,2,\cdots $ 且${{x}_...

[再寄小读者之数学篇](2014-10-27 无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?)

无穷多个无穷小量相乘还是无穷小量么?   解答: 不一定. 比如 $$\bex \ba{ll} \mbox{第 1 个:}&1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cdots;\\ \mbox{第 2 个:}&1,2,\cfrac{1}{3},\cfr...

华中师范大学2012年数学分析考研试题参考解答

来源  [尊重原有作者劳动成果]   一. （1）证明：由${{x}_{1}}=\frac{1}{2},{{x}_{2}}=\frac{3}{8},{{x}_{3}}=\frac{55}{128},\cdots $，猜测$\{{{x}_{2n+1}}\}$单调递减，$\{{{x}_{2n}}\...

本科时的课程与成绩

2014 年第六届全国大学生数学竞赛预赛数学类试题参考答案

注记: 1. 第2题是[家里蹲大学数学杂志]第295期赣南师范学院数学竞赛培训01-10套模拟试卷参考解答中赣南师范学院数学竞赛培训第01套模拟试卷参考解答的一个小题. 2. 最后一题在没答案之前我做了下, 给出了一个另外的解答[2014 年第六届全国大学生数学竞赛预赛数学类最后一题参考解答].

2014 年第六届全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题参考答案