余弦相似度
余弦相似度(cos (θ))值范围从-1(不相似)到+1(非常相似)。从下图可以看出，点A(1.5, 1.5)和点B(2.0, 1.0)在二维嵌入空间中距离很近。当计算余弦相似度时，得到0.948的值也可以确认两个向量非常相似。当较点A(1.5, 1.5)和点C(-1.0， -0.5)的相似度时，余弦相似度为-0.948，表明两个向量不相似。通过观察也可以看到它们在嵌入空间中方向相反。cos (θ)值为0表示两个向量彼此垂直，既不相似也不不同。
要计算两个向量之间的余弦相似度，可以简单地用两个向量的点积除以它们长度的乘积。余弦相似度主要考虑两个向量之间的角度来确定它们的相似度，并且忽略向量的长度。
在Python中计算余弦相似度很简单。我们可以将相似值cos(θ)转换为两个向量之间的角度(θ)，通过取反余弦。
import torch
import torch.nn.functional as F
import math
#Create 3 Vectors
A = torch.tensor([1.5,1.5])
B = torch.tensor([2.0,1.0])
C = torch.tensor([-1.0,-0.5])
# Calculate cosine similarity cos(𝜃):
cos = F.cosine_similarity(A, B, dim=0)
print("Cosine Similarity:", cos)
# Calculate the angle 𝜃:
# acos is the inverse of cos(x)
theta = math.acos(cos)
# Convert radians to degrees
theta_degrees = math.degrees(theta)
print("Angle in radians:", theta)
print("Angle in degrees:", theta_degrees)
点积
点积是一种常用的相似度度量。点积和余弦相似度是密切相关的概念。点积的取值范围从负无穷到正无穷，负值表示方向相反，正值表示方向相同，当向量垂直时为0。点积值越大表示相似性越大。下图显示了点P1与剩余点P2到P5之间的点积的计算。
点积可以从余弦方程推导出来:通过将两个向量之间夹角的余弦值乘以两个向量的长度就得到点积，如下图所示。点积受到向量嵌入长度的影响，这在选择相似性度量时可能是一个关键的考虑因素
点积是如何影响相似性度量呢?
假设你正在计算一组科学研究论文的相似度。研究论文嵌入向量的长度与被引用次数成正比。使用余弦相似度来计算研究论文之间的相似度是很常见的。如果使用点积，研究论文之间的相似性是如何变化的?
余弦相似度考虑向量的方向和大小，使其适用于向量的长度与其相似度不直接相关的情况。当使用点积时只有向量的大小起作用，方向就不那么重要了。
高被引次数(较长的向量)的论文与其他高被引论文的点积相似度得分更高，因为它们的量级对结果的贡献更大。低被引次数(较短的向量)的论文与高被引次数的论文的点积相似度得分较低，因为它们的量级较小。
曼哈顿(L1)和欧几里得(L2)距离
曼哈顿距离通过将每个维度的绝对差相加来计算距离，而欧几里得距离则计算点之间的直线距离。
曼哈顿距离适用于涉及网格状运动的场景，或者当单个维度具有不同的重要性时。当测量最短路径或当所有维度对距离的贡献相等时，欧几里得距离是理想的。
在大多数情况下，对于同一对点，曼哈顿距离比欧几里得距离产生更大的值。随着数据维数的增加，与欧几里得距离度量相比，曼哈顿距离成为首选。
曼哈顿距离L1
欧氏距离L2
曼哈顿距离是沿着网格线行走的距离，而欧几里得距离是直线距离。这两种距离在许多领域都有广泛的应用，例如在机器学习、图像处理、路径规划等方面。
总结
这四种距离度量方法各自有不同的应用场景和用途，选择哪种度量方法取决于具体的问题和数据类型。曼哈顿距离和欧几里得距离适用于空间坐标的距离测量。
曼哈顿距离常用于计算城市街道的距离，也用于特征选择和聚类等数据分析任务。欧几里得距离广泛用于空间中的距离测量，机器学习、数据挖掘和图形处理等领域。
点积距离和余弦相似度通常用于向量或文本数据的相似性度量。主要用于向量相似性的度量，如文本挖掘和自然语言处理中的文档相似性，或信息检索、推荐系统等领域。
作者：Frederik vl
