矩阵分析 (八) 矩阵的直积

矩阵分析系统学习笔记

本系列所有文章来自东北大学韩志涛老师的矩阵分析课程学习笔记，系列如下：

矩阵分析 (一) 线性空间和线性变换

矩阵分析 (二) 内积空间

矩阵分析 (三) 矩阵的标准形

矩阵分析 (四)向量和矩阵的范数

矩阵分析 (五) 矩阵的分解

矩阵分析 (六) 矩阵的函数

矩阵分析 (七) 矩阵特征值的估计

矩阵分析 (八) 矩阵的直积

矩阵的直积(Kronecher 积)是一种重要的矩阵乘积，它在矩阵理论研究中起着重要的作用，是一种基本的数学工具。本文介绍矩阵直积的基本性质，并利用矩阵的直积求解线性矩阵方程组和矩阵微分方程组。

直积的定义和性质

• 定义8.1：设矩阵：

称如下的分块矩阵：

为A AA与B BB的直积或者Kronecher积。

  可见A ⊗ B 是m p × n q矩阵。

矩阵的直积有下列性质：

• 1、设K 为常数，则：
  

直积的应用

  本节讨论直积在解线性矩阵方程组中的应用。

拉直

线性矩阵方程组

• 下面讨论几种类型方程组的解：设

解Lyapunov矩阵方程：

解 将矩阵两边拉直：

因为矩阵方程与所得的线性方程组等价，得到矩阵方程组有解的充要条件是：

有唯一解的充要条件是：

 有唯一解。

• 例10 设

求解矩阵微分方程组的初值问题：

 解 将矩阵两边拉直：

这是常系数齐次线性微分方程组，它的解：

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