求解拉格朗日乘子法 | 学习笔记

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求解拉格朗日乘子法

内容介绍

一、自变量多于两个条件下

二、实例

三、例题

一、自变量多于两个条件下

函数：ｕ　＝　ｆ　（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）在条件 （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝０， （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝０ 下的极值。

构造函数：　Ｆ（ｘ，　ｙ，ｚ，ｔ）＝　ｆ（ｘ，　ｙ，ｚ，ｔ）＋　 （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ　）＋ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）

其中  均为拉格朗日乘数，同样通过偏导为０以及约束条件求解。

二、实例

函数：ｕ　＝x³y²ｚ 约束条件：ｘ，　ｙ，ｚ 之和为 １２，求其最大值。

构造函数：Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝x³y²ｚ＋ （ｘ＋ｙ＋ｚ－１２）

分别求偏导：

唯一驻点（６，４，２）

u_max＝6³4²·２＝６９１２

三、例题

在第一卦限内作椭球面 －１ 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标

解　设 Ｐ（x₀,y₀,z₀）为椭圆面上的一点

令 Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ －１

则  分别求一个偏导

过 Ｐ（x₀,y₀,z₀）的切平面方程为

化简为 ＝１

该切平面在三个轴上的截距各为

所求四面体的面积

 为目标函数

在条件  下求 Ｖ 的最小值

 为约束条件

当切点坐标为

四面体的体积最小