张祖锦_个人页

伯努利父子恩怨

【核心提示】约翰·伯努利和他的儿子丹尼尔·伯努利都是著名的科学家，在他们之间有一段恩怨。   约翰·伯努利和他的儿子丹尼尔·伯努利都是著名的科学家，在他们之间有一段恩怨。 约翰·伯努利最初学医，同时研习数学。

高等代数思维训练-从一道例题看高等代数的常用方法[河北师范大学麻常利教授]

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[数学故事]有趣的位置几何

有一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑他们尺寸大小的新几何学，叫做拓扑学。有时人们也称它是橡皮膜上的几何学。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面积等等都将发生变化，但也有一些图形的性质保持不变。

[数学故事]火柴游戏

一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴於桌上，两人轮流取，每次所取的数目可先作一些限制，规定取走最后一根火柴者获胜。 规则一：若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？ 例如：桌面上有 n=15 根火柴，甲、乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？ 为了要取得最后一根，甲必须最后留下零根火柴给乙，故在最后一步之前的轮取中，甲不能留下1根或2根或3根，否则乙就可以全部取走而获胜。

[数学故事]狼狐决斗

瘸腿狐狸从兔子村一瘸一拐地逃出来。他心有余悸，心中暗道：“真玄呀！差点把命搭进去。” 突然，他发现独眼狼王蹲在前面，一只眼正死死盯着他。“啊，独眼狼王没有死！”瘸腿狐狸心里一惊。 瘸腿狐狸眼珠一转，满面堆笑地迎了上去说：“狼老弟，我正要找把钳子去救你，你……怎么自己出来啦？” “嘿嘿……”独眼狼王先是一阵冷笑，接着说：“一个小小的铁皮夹子，能治住我独眼狼王？你见死不救，不够朋友，咱们要进行一场决斗，你看怎么斗好啊？” “这……”瘸腿狐狸知道躲不过去了，他暗打鬼主意。

[数学故事]围剿兔子村

独眼狼王把瘸腿狐狸从象鼻子底下救了出来。 瘸腿狐狸抹着眼泪说：“要不是狼老弟来救我，我早就粉身碎骨了!” 独眼狼王拍着狐狸的肩膀说：“像狐狸老兄这样足智多谋的动物，世界上也不多见。今后咱俩合作，我有勇，你有谋，天 下无敌!哈哈。

[数学故事]国王的重赏

传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。

[数学故事]不说话的学术报告

　　1903年10月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑板前，没说话，用粉笔写出2^67-1，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数字，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。

[再寄小读者之数学篇](2015-06-24 Series)

(AMM. Problems and Solutions. 2015. 03) Let $\sed{a_n}$ be a monotone decreasing sequence of real numbers that converges to $0$.

[再寄小读者之数学篇](2015-06-24 积分不等式)

(AMM. Problems and Solutions. 2015. 01) Let $f$ be a twice continuously differentiable function from $[0,1]$ into $\bbR$.

【大话三国】揭秘蜀汉五虎将的真相

　　  陈寿所著的《三国志》确实是将这五员大将放在一块立传，在《三国志》第三十六卷，就有一个专门的“关张马黄赵传”。 　　  这五员大将的真实历史面目如何。先说关羽，史上的关羽确实也是一名难得的虎将。

[再寄小读者之数学篇](2015-06-08 一个有意思的定积分计算)

$$\beex \bea \int_0^\frac{\pi}{4}\ln (1+\tan x)\rd x &=\int_0^\frac{\pi}{4} \ln \frac{\cos x+\sin x}{\cos x}\rd x\\ &=\int_0^\frac{\pi}{4} \ln \sez{\s...

咏史---左思

郁郁涧底松，离离山上苗。以彼径寸茎，荫此百尺条。世胄蹑高位，英俊沉下僚。地势使之然，由来非一朝。金张籍旧业，七叶珥汉貂。冯公岂不伟，白首不见招。   峡谷下的松树苍郁茂盛，山顶上的树苗稀落下垂，但那小树却遮蔽了这百尺高的松树。

非洲雄狮捕猎未遂被野牛群追赶逃到树上

据外媒报道，近日，63岁的退休官员查尔斯在肯尼亚马赛马拉保护区拍摄下有趣的一幕，作为丛林之王的狮子，在草原捕猎未遂，反而遭遇到一群愤怒的野牛，并被牛群追赶。狮子自觉不敌牛群，为免被踩死而选择逃逸，甚至不惜放弃尊严爬到树上。

诚信,聪明,快乐,地位与竞争

　　从前，有两个好朋友，一个叫「聪明」，一个叫「诚信」。某日，两人结伴乘船出游，不巧，在海上遇到大风暴，两人乘坐的船沉没了，救生艇上仅仅于一个位置。那个叫「聪明」的年轻人，一看形势不好，为了争夺救生艇上的位置，就把「诚信」推进海里，自己逃生去了。

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.27

设 $f(x)$ 是 $[0,2\pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界. 求证: $$\bex a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos nx\rd x\geq 0.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    设 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.25

设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续, $$\bex \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+u)+f(x-u)-2f(x)]\rd u=0,\quad(x\in [a,b]), \eex$$ 试证 $f(x)$ 为线性函数.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.24

设 $\dps{f(x)=\int_x^{x+1}\sin t^2\rd t}$, 求证: $x>0$ 时, $\dps{|f(x)|

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t}$. 试证:   (1).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.22

设 $f\in C[0,1]$ (即 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续), 且在 $(0,1)$ 上可微, 若有 $\dps{8\int_\frac{7}{8}^1 f(x)\rd x=f(0)}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f'(\xi)=0$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.21

设 $f(x)$ 的一阶导数在 $[0,1]$ 上连续, 且 $f(0)=f(1)=0$, 求证: $\dps{\sev{\int_0^1 f(x)\rd x}\leq \frac{1}{4}\max_{0\leq x\leq 1}|f'(x)|}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20

设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^a |f'(x)|\rd x.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.19

求 $\dps{\lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+2} t\sex{\sin \frac{3}{t}}f(t)\rd t}$, 其中 $f(x)$ 可微, 且已知 $\dps{\lim_{t\to+\infty}f(t)=1}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.18

设 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{1}{bx-\sin x}\int_0^x \frac{t^2}{\sqrt{a+t^2}}\rd t=1}$, 试求正常数 $a$ 与 $b$. (华中师范大学)   解答: 由 $$\beex \bea 1&=\lim_{x\to 0}\...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.17

设在 $\dps{\sex{0,\frac{\pi}{2}}}$ 内连续函数 $f(x)>0$, 且满足 $$\bex f^2(x)=\int_0^x f(t)\frac{\tan t}{\sqrt{1+2\tan^2t}}\rd t.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.16

按牛顿二项式展开及代换 $x=\sin t$ 两种方法计算积分 $\dps{\int_0^1 (1-x^2)^n\rd x}$ ($n$ 为正整数). 并由此说明: $$\bex \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^k \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.15

$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x=1}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14

设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证明:   (1).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13

证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数.   证明: 对 $x$ 求导有 $$\bex f(x+1)-f(x)=0, \eex$$ 而 $f$ 为 $1$ 周期函数.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.12

证明: 若 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 且对一切 $x\in [0,1]$ 有 $\dps{\int_0^x f(u)\rd u\geq f(x)\geq 0}$, 则 $f(x)\equiv 0$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.11

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 并且对于任何区间 $[\al,\beta]$ ($a\leq \al

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.10

对自然数 $n\geq 2$, 证明 $$\bex \frac{1}{\pi}\int_0^\frac{\pi}{2}\sev{\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}}\rd t

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.9

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    证明 $\dps{\int_0^\frac{\pi}{2} t\sex{\frac{\sin nt}{\sin t}}^4\rd t\frac{2}{\pi}x,\ 0

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.8

将条件 $f(x)\neq 0$ 换为 $f''(x)

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.7

$f(x)\neq 0$, 在 $[a,b]$ 上可微, $f(a)=f(b)=0$, 证明至少存在点 $c\in [a,b]$, 使 $$\bex |f'(c)|>\frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b |f(x)|\rd x.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.6

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(x)\searrow$, $|f'(x)|\geq m>0$, 试证: $$\bex \sev{\int_a^b \cos f(x)\rd x}\leq \frac{2}{m}.

纳什前两天刚去世

John Forbes Nash, Jr. (June 13, 1928 – May 23, 2015) was an American mathematician whose works in game theory, differential geometry, and partial diff...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.5

若 $f'(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上拦蓄, 且 $f'(x)\geq 0$, 则对任意正整数 $n$, 有 $$\bex \sev{\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\rd x}\leq \frac{2[f(2\pi)-f(0)]}{n}.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4

把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$:   (1). $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负;   (2). $f(0)=0$, $f(1)=1$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.3

求证: $\dps{f(x)=\int_0^x (t-t^2)\sin^{2n}t\rd t}$ ($n$ 为正整数) 在 $x\geq 0$ 上的最大值不超过 $\dps{\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.2

证明: $\dps{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ 时, $\dps{\sin x\leq x-\frac{1}{3\pi}x^3}$.   证明: 由例 4.3.19, $$\bex \sin x

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.1

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    证明:   (1). $\dps{\sqrt{2}e^{-\frac{1}{2}}

数学家怎么把球面内表面翻出到外表面——斯梅尔悖论

为师不以学为大,不如以死谢天下

为师不以学为大,不如以死谢天下   这里, 学包含了"学问,学生".

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.29

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html    证明: $\dps{\vlm{n}\sed{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln k}-\ln\ln n}}$ 存在 (有限).

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.28

设 $k>0$, $a>0$. 证明:   (1). $\dps{\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛;   (2). $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}\int_a^\infty \frac{\sin 2n\pi x\rd x}{x^k}}$ 收敛.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.27

求 $\dps{\lim_{t\to +\infty}\sex{\frac{1}{t} +\frac{2t}{t^2+1^2}+\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\cdots+\frac{2t}{t^2+n^2}+\cdots}}$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.26

(1). 求证: 当 $s>0$ 时, $\dps{\int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x}$ 收敛;   (2). 求证: 当 $s>1$ 时, $$\bex \int_1^\infty \frac{x-[x]}{x^{s+1}}\rd x=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\vsm{n}\frac{1}{n^s}.