线段树解决的问题
假设给定一个数组，长度为1000，要求 1~200 范围上所有的数都统一增加6；7 ~ 375 范围上的所有数都更新为4；查询3 ~ 999 范围上所有的数的累加和。
所以，线段树解决的问题就是：
1.区间上的统一增加add
2.区间上的统一更新update
3.区间上的累加和统一查询query
暴力解
暴力解只能遍历，时间复杂度毫无疑问都是O(N)
特殊情况
其实大多数时候，一个题中并不需要用到线段树中的所有结构。比如，一般用到add然后就直接query了；或者先update就直接query了。也就是在一个题中并不是要同时用到add、update、query这三个方法。但是我们这里在一个结构中实现了这三个方法，这是比较难的。因为要确保add和update单独使用的时候要互相独立，互不干涉。
线段树也有非递归版本，但是非递归版本太难了，而且用递归版本就可以解决所有问题了，一般用递归版本也不用担心栈会爆掉，因为深度不会特别大。
建立类似树状的结构
在线段树中，数组下标一般从1开始算。
任何一个结点 i 的父结点是 i / 2，
任何一个结点 i 的左孩子是 2 i，右孩子是 2 i + 1
因为下标从1开始算，有点像堆。
数组是长度为偶数个的时候
数组长度为奇数个的时候
申请的数组长度需要多大
假设原数组长度是N的话，
数组长度是2的某次方时候，最省空间，只需要准备2N长度的数组；比如原数组长度为4的时候如下：虽然只有7的长度，但是我们申请的数组0位置是弃而不用的，所以也刚好是原数组长度的两倍8的长度刚好够用。
数组长度是2的某次方+1的时候，最浪费空间，但也只需要准备4N长度的数组就可以了。（严格证明省略）
为什么？因为二叉树最底层结点的数量 等于 最底层往上所有层的结点数量相加
线段树的时间复杂度
O(logN)
在想象出来的物理结构上实现线段树的三个操作
add操作
原始数组，准备一个累加和数组和存懒信息的数组
在数组1 ~ 4 范围上的每个值加上3
1 ~ 2 范围上的每个值都加个4
一个新的任务到来时，先检查当前范围是否已经懒住信息，如果有，先把懒信息下发一层，再处理新的任务（但是在代码中实现的是把新任务跟之前已经懒住的信息累加，也就是说之前的懒信息先不下发了）
任何一个结点的累加和如何得到？
左孩子的累加和加上右孩子的累加和
private void pushUp(int rt){
sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}构建二叉树（自己想象出来的类似树状的结构）
// 在初始化阶段，先把sum数组填好
// 在arr[l~r]范围上，去build，1~N
// rt：这个范围在sum中的下标!!!
// 范围和下标是解耦的，也就是说前两个参数跟第三个参数是没有关联的
public void build(int l,int r,int rt){
if(l==r){
sum[rt]=arr[l];
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,rt<<1);
build(mid+1,r,rt<<1|1);
pushUp(rt);
}自己动手举个例子看看
懒更新
线段树时间复杂度是O(logN)的关键体现，一个任务下来以后，卡着一条左边界下去一次，卡着一条右边界下去一次。
一个新的任务到来时，先检查当前范围是否已经懒住信息，如果有，先把懒信息下发一层，再处理新的任务（但是在代码中实现的是把新任务跟之前已经懒住的信息累加，也就是说之前的懒信息先不下发了）
什么时候可以用线段树
左边可以得到某一个信息，右边可以得到某一个信息，父结点的信息可以由左右两个信息在O(1)时间内加工好，而且不用具体调研底层状况的，这一类区间查询，区间更新，区间增加问题，可以用线段树。
代码
package com.harrison.class21;
/**
* @author Harrison
* @create 2022-03-31-22:40
* @motto 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。
*/
public class Code01_SegmentTree {
public static class SegmentTree {
// arr[] 为原序列的信息从0开始，但在arr里是从1开始的
// sum[] 模拟线段树维护区间和
// lazy[] 累加和懒惰标记
// change[] 更新的值
// update[] 更新慵懒标记
private int MAXN;
private int[] arr;
private int[] sum;
private int[] lazy;
private int[] change;
private boolean[] update;// true：表示该位置上的信息是有效的，否则无效
public SegmentTree(int[] origin) {
MAXN = origin.length + 1;
arr = new int[MAXN]; //arr[0]不用，从1开始用
for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
arr[i] = origin[i - 1];
}
sum = new int[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围的累加和信息
lazy = new int[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围没有往下传递的累加任务
change = new int[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围没有更新操作的任务
update = new boolean[MAXN << 2]; // 用来支持脑补概念中，某一个范围更新任务，更新成了什么
}
private void pushUp(int rt) {
sum[rt] = sum[rt << 1] + sum[rt << 1 | 1];
}
// 之前的，所有懒增加，和懒更新，从父范围，发给左右两个子范围
// 分发策略是什么
// ln表示左子树元素结点个数，rn表示右子树结点个数
// 该方法就是把之前的懒信息分发下去
public void pushDown(int rt, int ln, int rn) {
// 一定要先检查有没有update，再检查有没有累加和
if (update[rt]) {// 如果父结点有了一个更新信息
// 左右孩子都改为true
update[rt << 1] = true;
update[rt << 1 | 1] = true;
// change 左右两个孩子都改成父结点的信息
change[rt << 1] = change[rt];
change[rt << 1 | 1] = change[rt];
// 左右孩子之前保留的懒信息全都失效
lazy[rt << 1] = 0;
lazy[rt << 1 | 1] = 0;
// 左右孩子的累加和信息也都被覆盖
sum[rt << 1] = change[rt] * ln;
sum[rt << 1 | 1] = change[rt] * rn;
update[rt] = false;
}
if (lazy[rt] != 0) {
sum[rt << 1] += lazy[rt] * ln;
sum[rt << 1 | 1] += lazy[rt] * rn;
lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
lazy[rt << 1] += lazy[rt];
lazy[rt] = 0;
}
}
// 在初始化阶段，先把sum数组填好
// 在arr[l~r]范围上，去build，1~N
// rt：这个范围在sum中的下标!!!
// 范围和下标是解耦的，也就是说前两个参数跟第三个参数是没有关联的
public void build(int l, int r, int rt) {
if (l == r) {
sum[rt] = arr[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(l, mid, rt << 1);
build(mid + 1, r, rt << 1 | 1);
pushUp(rt);
}
// L~R -> 任务范围， 所有的值变成C
// l,r -> 表达的范围
// rt -> 去哪找l,r范围上的信息
public void update(int L, int R, int C, int l, int r, int rt) {
// 任务的范围彻底覆盖了，当前表达的范围
if (L <= l && r <= R) {
update[rt] = true;
change[rt] = C;
sum[rt] = C * (r - l + 1);
lazy[rt] = 0;
return;
}
// 当前任务并没有把l...r全包住，就要把当前任务往下发
// 为什么要求中点？因为要标记左侧和右侧各有几个数
int mid = (l + r) >> 1;// l...mid (rt<<1) mid+1...r (rt<<1|1)
// 下发之前所有攒的懒任务
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
// 左孩子是否需要接到任务
if (L <= mid) {
update(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
// 右孩子是否需要接到任务
if (R > mid) {
update(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
// 左右孩子做完任务后，更新我的sum信息
pushUp(rt);
}
// L~R -> 任务范围，所有的值累加上C
// l,r -> 表达的范围
// rt -> 去哪找l,r范围上的信息
public void add(int L, int R, int C, int l, int r, int rt) {
// 任务的范围彻底覆盖了，当前表达的范围
if (L <= l && r <= R) {
sum[rt] += C * (r - l + 1);
lazy[rt] += C;
return;// 懒住就不下发了，时间复杂度优秀的关键体现
}
// 当前任务并没有把l...r全包住，就要把当前任务往下发
// 为什么要求中点？因为要标记左侧和右侧各有几个数
int mid = (l + r) >> 1;// l...mid (rt<<1) mid+1...r (rt<<1|1)
// 下发之前所有攒的懒任务
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
// 左孩子是否需要接到任务
if (L <= mid) {
add(L, R, C, l, mid, rt << 1);
}
// 右孩子是否需要接到任务
if (R > mid) {
add(L, R, C, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
// 左右孩子做完任务后，更新我的sum信息
pushUp(rt);
}
// 1~6 累加和是多少？ 1~8 rt
public long query(int L, int R, int l, int r, int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
return sum[rt];
}
int mid = (l + r) >> 1;
pushDown(rt, mid - l + 1, r - mid);
long ans = 0;
if (L <= mid) {
ans += query(L, R, l, mid, rt << 1);
}
if (R > mid) {
ans += query(L, R, mid + 1, r, rt << 1 | 1);
}
return ans;
}
}
public static class Right {
public int[] arr;
public Right(int[] origin) {
arr = new int[origin.length + 1];
for (int i = 0; i < origin.length; i++) {
arr[i + 1] = origin[i];
}
}
public void update(int L, int R, int C) {
for (int i = L; i <= R; i++) {
arr[i] = C;
}
}
public void add(int L, int R, int C) {
for (int i = L; i <= R; i++) {
arr[i] += C;
}
}
public long query(int L, int R) {
long ans = 0;
for (int i = L; i <= R; i++) {
ans += arr[i];
}
return ans;
}
}
public static int[] genarateRandomArray(int len, int max) {
int size = (int) (Math.random() * len) + 1;
int[] origin = new int[size];
for (int i = 0; i < size; i++) {
origin[i] = (int) (Math.random() * max) - (int) (Math.random() * max);
}
return origin;
}
public static boolean test() {
int len = 100;
int max = 1000;
int testTimes = 5000;
int addOrUpdateTimes = 1000;
int queryTimes = 500;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
int[] origin = genarateRandomArray(len, max);
SegmentTree seg = new SegmentTree(origin);
int S = 1;
int N = origin.length;
int root = 1;
seg.build(S, N, root);
Right rig = new Right(origin);
for (int j = 0; j < addOrUpdateTimes; j++) {
int num1 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int num2 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int L = Math.min(num1, num2);
int R = Math.max(num1, num2);
int C = (int) (Math.random() * max) - (int) (Math.random() * max);
if (Math.random() < 0.5) {
seg.add(L, R, C, S, N, root);
rig.add(L, R, C);
} else {
seg.update(L, R, C, S, N, root);
rig.update(L, R, C);
}
}
for (int k = 0; k < queryTimes; k++) {
int num1 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int num2 = (int) (Math.random() * N) + 1;
int L = Math.min(num1, num2);
int R = Math.max(num1, num2);
long ans1 = seg.query(L, R, S, N, root);
long ans2 = rig.query(L, R);
if (ans1 != ans2) {
return false;
}
}
}
return true;
}
public static void main(String[] args) {
int[] origin = {2, 1, 1, 2, 3, 4, 5};
SegmentTree seg = new SegmentTree(origin);
int S = 1; // 整个区间的开始位置，规定从1开始，不从0开始 -> 固定
int N = origin.length; // 整个区间的结束位置，规定能到N，不是N-1 -> 固定
int root = 1; // 整棵树的头节点位置，规定是1，不是0 -> 固定
int L = 2; // 操作区间的开始位置 -> 可变
int R = 5; // 操作区间的结束位置 -> 可变
int C = 4; // 要加的数字或者要更新的数字 -> 可变
// 区间生成，必须在[S,N]整个范围上build
seg.build(S, N, root);
// 区间修改，可以改变L、R和C的值，其他值不可改变
seg.add(L, R, C, S, N, root);
// 区间更新，可以改变L、R和C的值，其他值不可改变
seg.update(L, R, C, S, N, root);
// 区间查询，可以改变L和R的值，其他值不可改变
long sum = seg.query(L, R, S, N, root);
System.out.println(sum);
System.out.println("对数器测试开始...");
System.out.println("测试结果 : " + (test() ? "通过" : "未通过"));
}
}
