最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
普里姆算法介绍
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
普里姆算法最佳实践(修路问题)
有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
代码示例
package com.wxit.prim;
import java.util.Arrays;
/**
- @Author wj
**/
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
//测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示
int[][] weight = new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000}
};
//创建MGraph对象
MGraph mGraph = new MGraph(verxs);
//创建MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createdGraph(mGraph,verxs,data,weight);
//输出
minTree.showGraph(mGraph);
//测试普利姆算法
minTree.prim(mGraph,1);
}}
class MGraph{
int verxs; //表示图的节点个数
char[] data; //存放节点的数据
int[][] weight; //存放边,就是我们的邻接矩阵
public MGraph(int verxs){
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}}
//创建最小生成树
class MinTree{
//创建图的邻接矩阵
/**
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点的个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createdGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight){
int i,j;
for (i = 0;i <verxs;i++){
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0;j < verxs;j++){
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
//显示图的放法
public void showGraph(MGraph graph){
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
//编写prim算法,得到最小生成树
/**
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A' -> 0 'B' -> 1
*/
public void prim(MGraph graph,int v){
//visited[]标记节点是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
//把当前这个节点标记为已访问
visited[v] = 1;
//h1和h2记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000;//将minWeight初始成一个大数，后面在遍历的过程中，会被替换
for (int k = 1;k < graph.verxs;k++){ //因为有graph.verxs个顶点，普利姆算法结束后会有graph.verxs - 1条边
//这是确定每一次生成的子图，和那个节点的举例最近
for (int i = 0; i < graph.verxs;i++){ //i表示被访问过的节点
for (int j = 0;j < graph.verxs;j++){ //j表示还没有访问过的节点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight){
//替换minWright（寻找已经访问过的节点和未访问过的节点间的权值最小的边)
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
//找到一条最小的边
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值" + minWeight);
//将当前这个节点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
//minWeight重新设置为最大值10000
minWeight = 10000;
}
}}
