众所周知，猴子排序打破了排序算法$O(n\log{n})$的桎梏(雾)，具体的话，显然最好情况一次成功就是$O(n)$，最坏情况那就$O(+\infty)$了。期望是多少呢？让我来推导一番(逃)。
首先，设序列长度为$n$，每次打乱序列和检测是否有序为$O(n)$，每次成功的概率为$\frac{1}{n!}$(全排列共$n!$种)，失败的概率为$1-\frac{1}{n!}$。我们令$X$为排序成功所需的打乱次数，则$P(X=k)=P_{成功}^{1}×P_{失败}^{k-1}$(乘法原理)。那么猴子排序的期望复杂度就是$O(E(X)*n)$
X分布列如下表所示——
| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ | $+\infty$ |
| $P(X=k)$ | $\frac{1}{n!}$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}$ | $\cdots$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}$ | $\cdots$ | $+\infty$ |
有了分布列就来求X的期望吧——
$$E(X)=1×\frac{1}{n!}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}+\cdots$$
$$=\frac{1}{n!}×\left[1×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{0}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{1}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}+\cdots\right]$$
$$=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left[{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}\right]$$
嗯……这个级数怎么求和啊？
写个程序跑一下吧，求和求到二百万应该够了，再往上long double的精度也不资磁了……
#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { double fac=1;//n! for(int n=1;n<=10;n++) { long double E=0; fac*=n; for(int i=1;i<=2000000;i++) { E+=i*pow((fac-1.0)/fac,i-1); } E/=fac; printf("E(X)=%Lf (n=%d)\n",E,n); } return 0; }
运行结果——
n大于8以后，long double都爆了……忽略它们！(观众：你……)
于是我们猜想——$E(X)=n!$。
上网一查，猴子排序复杂度果然是$O(n×n!)$，于是，猜想成立，推导完毕……（博主已被打死）
留坑，等我会求那坨级数求和再来填坑吧（逃）大家别学我
