Python机器学习（二）：线性回归算法

机器学习研究的问题分为分类问题和回归问题。分类问题很好理解，而回归问题就是找到一条曲线，可以最大程度地拟合样本特征和样本输出标记之间的关系。当给算法一个输入时，这条曲线可以计算出相应可能的输出。回归算法最简单的就是线性回归。当样本特征只有一个时，称为简单线性回归；当样本特征有多个时，称为多元线性回归。

1.简单线性回归

由上图可知，简单线性回归只有一个特征x，一个标记y。假定x和y之间具有类似于线性的关系，就可以使用使用简单线性回归算法。假定我们找到了最佳拟合的直线方程

则对于每一个样本点x(i)，预测值如下。其中带箭头的y是预测值，称为 y head。右上角的 i 是指样本的索引。

我们希望预测值和真实值之间的差距尽量小。一般用欧氏距离来衡量。下式称为 损失函数（Loss Function）

换句话说，我们的目标就是找到一组a和b，使得下式最小

通过分析不同的问题，我们需要确定问题的损失函数。通过最优化损失函数，获得机器学习的模型。几乎所有的参数学习算法都是这样的套路

那么这个问题是一个典型的最小二乘法问题，即最小化误差的平方。推导可得以下公式

可以用python封装成这种形式

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import numpy as np

class SimpleLinearRegression:

    def __init__(self):
        """初始化Simple Linear Regression 模型"""
        self.a_ = None
        self.b_ = None

    def fit(self, x_train, y_train):
        """根据训练数据集x_train,y_train训练Simple Linear Regression 模型"""
        assert x_train.nidm == 1, \
            "Simple Linear Regressor can only solve single feature training data."
        assert len(x_train) == len(y_train), \
            "the size of x_train must be equal to the size of y_train"

        x_mean = np.mean(x_train)
        y_mean = np.mean(y_train)

        """进行向量化可以加快训练速度"""
        # num = 0.0
        # d = 0.0
        # for x, y in zip(x_train, y_train):
        #     num += (x - x_mean) * (y - y_mean)
        #     d += (x - x_mean) ** 2

        num = (x_train - x_mean).dot(y_train - y_mean)
        d = (x_train - x_mean).dot(x_train - x_mean)

        self.a_ = num/d
        self.b_ = y_mean - self.a_ * x_mean

        return self

    def predict(self, x_predict):
        """给定待预测数据集x_predict, 返回表示x_predict的结果向量"""
        assert x_predict.ndim == 1, \
            "Simeple Linear Regressor can only solve single feature training data."
        assert self.a_ is not None and self.b_ is not None, \
            "must fit before predict!"

        return np.array([self._predict(x) for x in x_predict])

    def _predict(self, x_single):
        """给定单个待预测数据x_single, 返回x_single的预测结果值"""
        return self.a_ * x_single + self.b_

    def __repr__(self):
        return "SimpleLinearRegression()"

衡量线性回归模型好坏有多个标准，均方误差（Mean Squared Error）、均方根误差（Root Mean Squared Error）、平均绝对误差（Mean Absolute Error）等。一般使用MSE。

而如果想像分类问题一样将评判得分限制在0和1之间，则应该使用R Square

右边一项的分子代表使用模型产生的错误，分母代表使用平均值进行预测产生的错误。分母也可以理解为一个模型，称为 Baseline Model。

R Square的输出分为以下几种情况：

• R^2 = 1，则模型不犯任何错误，完美
• R^2 = 0，模型为基准模型，相当于没训练过
• R^2 < 0，数据可能不存在任何线性关系

2.多元线性回归

多元线性回归,就是指样本特征值有多个。根据这多个特征值来预测样本的标记值。那么特征X和参数Θ就是一个向量。

相类似地，我们需要找到一个损失函数。我们需要找到一组参数Θ，使下式尽可能小

为了方便进行矩阵运算，我们写成这种形式

预测值可以写成这种形式

X展开是这个样子。每一行是一个样本点，每一列（除了第一列）是一种特征

经过推导，得到这样一个公式。这成为多元线性回归的正规方程解（Normal Equation）。结果就是参数向量。

如上，可以封装成这种形式

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"""

import numpy as np

class LinearRegression:

    def __init__(self):
        """初始化Linear Regression模型"""
        self.coef_ = None
        self.interception_ = None
        self._theta = None

    def fit_normal(self, X_train, y_train):
        """根据训练数据集X_train, y_train训练Linear Regression模型"""
        assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \
            "the size of X_train must be equal to the size of y_train"

        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
        self._theta = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(y_train)

        self.interception_ = self._theta[0]
        self.coef_ = self._theta[1:]

        return self

    def predict(self, X_predict):
        """给定待预测数据集X_predict, 返回表示X_predict的结果向量"""
        assert self.interception_ is not None and self.coef_ is not None, \
            "must fit before predict!"
        assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
            "the feature number of X_predict must be equal to X_train"

        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])

        return X_b.dot(self._theta)

    def __repr__(self):
        return "LinearRegression()"

sciki-learn中使用线性回归如下

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from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 加载波士顿房价的数据集
boston = datasets.load_boston()

# 清除一些不合理的数据
X = boston.data
y = boston.target

X = X[y < 50.0]
y = y[y < 50.0]

# 分离出测试集并拟合
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)

lin_reg = LinearRegression()

lin_reg.fit(X_train, y_train)

# 打印结果
print(lin_reg.coef_)
print(lin_reg.intercept_)
print(lin_reg.score(X_test, y_test))

输出如下

3.总结

线性回归是许多其他回归和分类问题的基础。

它最大的优点是对数据具有很强的解释性。比如某一项的参数是正数，那么很可能这个特征和样本标记之间成正相关，反之成负相关。

优点：

1. 思想简单，实现容易
2. 是许多非线性模型的基础
3. 具有很好的可解释性

缺点：

1. 假设特征和标记之间有线性关系，现实中不一定
2. 训练的时间复杂度比较高

References:
Python3 入门机器学习 经典算法与应用 —— liuyubobobo
机器学习实战 —— Peter Harrington