一、引言
前面我们谈论到的算法都是在给定\(x\)的情况下直接对\(p(y|x;\theta)\)进行建模。例如，逻辑回归利用\(h_\theta(x)=g(\theta^T x)\)对\(p(y|x;\theta)\)建模，这类算法称作判别学习算法。
考虑这样一个分类问题，我们根据一些特征来区别动物是大象\((y=1)\)还是狗\((y=0)\)。给定了这样一个训练集，逻辑回归或感知算法要做的就是去找到一个决策边界，将大象和狗的样本分开来。可以换个思路，首先根据大象的特征来学习出一个大象的模型，然后根据狗的特征学习出狗的模型，对于一个新的样本，提取它的特征先放到大象的模型中求得是大象的概率，然后放到狗的模型中求得是狗的概率，最后我们比较两个概率哪个大，即确定这个动物是哪种类型。也即求\(p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}\)，\(y\)为输出结果，\(x\)为特征。
现在我们来定义这两种解决问题的方法：
判别学习算法（discriminative learning algorithm）：直接学习\(p(y|x)\)或者是从输入直接映射到输出的方法
生成学习算法（generative learning algorithm）：对\(p(x|y)\)(也包括\(p(y))\)进行建模。
\(y\)为输出变量，值为0或1，如果是大象取1，狗则取0
\(p(x|y = 0)\)：对狗的特征进行建模
\(p(x|y = 1)\)：对大象的特征建模
对\(p(x|y)\)和\(p(y)\)完成建模后，运用贝叶斯公式，就可以求得在给定\(x\)的情况下\(y\)的概率：
\[p(y|x)=\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)}\]
\[p(x) = p(x|y = 1)p(y = 1) + p(x|y =0)p(y = 0)\]
由于我们关心的是\(y\)离散结果中哪一个的概率更大，而不是要求得具体的概率，所以上面的公式我们可以表达为：
\begin{align*} arg\,\underset{y}{max}p(y|x) &=arg\,\underset{y}{max}\frac{p(x|y)p(y)}{p(x)} \\
&=arg\,\underset{y}{max}p(x|y)p(y) \end{align*}
\(arg\,\underset{y}{max}p(y|x)\)的含义：满足条件的最大\(y\)值。对\(y\)求取最大值，与\(p(x)\)无关，所以可以不需要计算\(p(x)\)了
常见的生成模型有：隐马尔可夫模型HMM、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型GMM、LDA等
二、高斯判别分析(Gaussian Discriminant Analysis)
下面介绍第一个生成学习算法GDA。在GDA中，假设\(x \in R^n\)且是连续的，且\(p(x|y)\)满足多项正态分布。
2.1 多项正态分布(The multivariate normal distribution)
假设随机变量\(X\)满足\(n\)维的多项正态分布，参数为均值向量\(\mu\in R^n\)，协方差矩阵\(\Sigma \in R^{n\times n}\)，记为\(N(\mu,\Sigma)\)其概率密度表示为：
\[p(x;\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\bigg)\]
\(det\Sigma\)表示矩阵\(\Sigma\)的行列式(determinant)。
均值向量 ：\(\mu\)
协方差矩阵:\(\Sigma=E[(X-E[X])(X-E[X])^T]=E[(x-\mu)(x-\mu)^T]\)
接下来我们用matlab来画一下二维正态分布的图像，我们可以调整均值和协方差矩阵来观察图像。
代码：
mu=[0 0]; sigma=[1.0 0;0 1.0]; [x y]=meshgrid(linspace(-3,3,40)',linspace(-3,3,40)'); X=[x(:) y(:)]; z=mvnpdf(X,mu,sigma); surf(x,y,reshape(z,40,40)); hold on; figure; contour(x,y,reshape(z,40,40));
\(\mu\)决定中心位置，\(\Sigma\)决定投影椭圆的朝向和大小。
2.2高斯判别分析模型(The Gaussian Discriminant Analysis model)
现在有一个分类问题，训练集的特征值\(x\)是随机连续值，那么我们可以利用高斯判别分析模型，假设\(p(x|y)\)满足多值正态分布，即：
\[y \sim Bernoulli(\phi)\]
\[x|y=0 \sim N(\mu_0, \Sigma)\]
\[x|y=1 \sim N(\mu_1, \Sigma)\]
概率分布为：
\[p(y) = \phi^y(1-\phi)^{1-y}\]
\[p(x|y=0) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_0)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_0)\bigg)\]
\[p(x|y=1) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}(det\Sigma)^\frac{1}{2}}exp\bigg(-\frac{1}{2}(x-\mu_1)^T\Sigma^{-1}(x-\mu_1)\bigg)\]
模型参数为\(\phi, \Sigma, \mu_0, \mu_1\)，对数似然函数为：
\[l(\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)},y^{(i)};\phi,\mu_0,\mu_1,\Sigma)=log\prod_{i=1}^{m}p(x^{(i)}|y^{(i)};\mu_0,\mu_1,\Sigma)p(y^{(i)};\phi)\]
注意这里的参数有两个\(\mu\)，表示在不同的结果模型下，特征均值不同，但我们假设协方差相同。反映在图上就是不同模型中心位置不同，但形状相同。这样就可以用直线来进行分隔判别。
求得所有的参数：
\[\phi = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}\]
\[\mu_0=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=0\}}\]
\[\mu_1=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}x^{(i)}}{\sum\limits_{i=1}^{m}1\{y^{(i)}=1\}}\]
\[\Sigma = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})(x^{(i)}-\mu_{y{(i)}})^T\]
\(\phi\)是训练样本中结果\(y=1\)占有的比例。
\(\mu_0\)是\(y=0\)的样本中特征均值。
\(\mu_1\)是\(y=1\)的样本中特征均值。
\(\Sigma\)是样本特征方差均值。
所以通过上面所述，画出图像如下图：
直线两边的\(y\)值不同，但协方差矩阵相同，因此形状相同,\(\mu\)不同，因此位置不同。
2.3讨论GDA和逻辑回归(Discussion: GDA and logistic regression)
现在我们把\(p(y = 1|x; \phi, \mu_0, \mu_1, \Sigma)\)看成是\(x\)的函数，则可以表达为：
\[p(y=1|x;\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1)=\frac{1}{1+exp(-\theta^Tx)}\]
\(\theta\) 是参数\(\phi,\Sigma,\mu_0,\mu_1\)的函数，这正是逻辑回归的形式。
逻辑回归和GDA在训练相同的数据集的时候我们得到两种不同的决策边界，那么怎么样来进行选择模型呢：
上面提到如果\(p(x|y)\)是一个多维的高斯分布，那么\(p(y|x)\)可以推出一个logistic函数；反之则不一定正确，\(p(y|x)\)是一个logistic函数并不能推出\(p(x|y)\)服从高斯分布.这说明GDA比logistic回归做了更强的模型假设.
如果\(p(x|y)\)真的服从或者趋近于服从高斯分布，则GDA比logistic回归效率高.
当训练样本很大时，严格意义上来说并没有比GDA更好的算法（不管预测的多么精确）.
事实证明即使样本数量很小，GDA相对logisic都是一个更好的算法.
但是，logistic回归做了更弱的假设，相对于不正确的模型假设，具有更好的鲁棒性（robust）.许多不同的假设能够推出logistic函数的形式. 比如说，如果\(x|y=0 \sim Poisson(\lambda_0)\),\(x|y=1 \sim Poisson(\lambda_1)\)那么\(p(y|x)\)是logistic。
logstic回归在这种类型的Poisson数据中性能很好. 但是如果我们使用GDA模型，把高斯分布应用于并不是高斯数据中，结果是不好预测的，GDA就不是很好了.
三：朴素贝叶斯(Naive Bayes)
在GDA中，特征向量\(x\)是连续的实数向量，那么现在谈论一下当\(x\)是离散时的情况。
我们沿用对垃圾邮件进行分类的例子，我们要区分邮件是不是垃圾邮件。分类邮件是文本分类的一种应用
将一封邮件作为输入特征向量，与现有的字典进行比较，如果在字典中第i个词在邮件中出现，则\(x_i=1\)，否则\(x_i=0\)，所以现在我们假设输入特征向量如下：
选定特征向量后，现在要对\(p(x|y)\)进行建模：
假设字典中有50000个词，\(x \in \{0, 1\}^{50000}\) 如果采用多项式建模， 将会有\(2^{50000}\)种结果，\(2^{50000}-1\)维的参数向量，这样明显参数过多。所以为了对\(p(x|y)\)建模，需要做一个强假设，假设\(x\)的特征是条件独立的，这个假设称为朴素贝叶斯假设(Naive Bayes (NB) assumption),这个算法就称为朴素贝叶斯分类(Naive Bayes classifier).
解释：
如果有一封垃圾邮件\((y=1)\),在邮件中出现buy这个词在2087这个位置,它对39831这个位置是否出现price这个词没有影响，也就是，我们可以这样表达\(p(x_{2087}|y)=p(x_{2087}|y,x_{39831})\),这个和\(x_{2087}\)和\(x_{39831}\)相互独立不同，如果相互独立，则可以写为\(p(x_{2087})=p(x_{2087}|x_{39831})\)，我们这里假设的是在给定y的情下，\(x_{2087}\)和\(x_{39831}\)独立。
现在我们回到问题中，在做出假设后，可以得到：
解释
第一个等号用到的是概率的性质 链式法则
第二个等式用到的是朴素贝叶斯假设
朴素贝叶斯假设是约束性很强的假设，一般情况下 buy和price是有关系的，这里我们假设的是条件独立 ，独立和条件独立不相同
模型参数：
\[\phi_{i|y=1}=p(x_i=1|y=1)\]
\[\phi_{i|y=0}=p(x_i=1|y=0)\]
\[\phi_y=p(y=1)\]
对于训练集{(x(i) , y(i)); i =1, . . . , m}，根据生成学习模型规则，联合似然函数(joint likelihood)为：
得到最大似然估计值：
最后一个式子是表示\(y=1\)的样本数占全部样本数的比例，前两个表示在\(y=1\)或\(y=0\)的样本中，特征\(x_j=1\)的比例。
拟合好所有的参数后，如果我们现在要对一个新的样本进行预测，特征为x，则有：
实际上只要比较分子就行了，分母对于y = 0和y = 1是一样的，这时只要比较p(y = 0|x)与p(y = 1|x)哪个大就可以确定邮件是否是垃圾邮件。
3.1拉普拉斯平滑(Laplace smoothing)
朴素贝叶斯模型可以在大部分情况下工作良好。但是该模型有一个缺点：对数据稀疏问题敏感。
比如在邮件分类中，对于低年级的研究生，NIPS显得太过于高大上，邮件中可能没有出现过，现在新来了一个邮件"NIPS call for papers"，假设NIPS这个词在词典中的位置为35000，然而NIPS这个词从来没有在训练数据中出现过，这是第一次出现NIPS，于是算概率时：
由于NIPS从未在垃圾邮件和正常邮件中出现过，所以结果只能是0了。于是最后的后验概率：
对于这样的情况，我们可以采用拉普拉斯平滑，对于未出现的特征，我们赋予一个小的值而不是0。具体平滑方法为：
假设离散随机变量取值为{1,2,···,k}，原来的估计公式为：
使用拉普拉斯平滑后，新的估计公式为：
即每个k值出现次数加1，分母总的加k，类似于NLP中的平滑，具体参考宗成庆老师的《统计自然语言处理》一书。
对于上述的朴素贝叶斯模型，参数计算公式改为：
