在搜索引擎的检索结果中，排在前面几页的检索结果往往质量更好，更符合我们的要求。一般来说，这些高质量检索结果的排名越靠前，这个搜索引擎的用户体验也就越好。可以说，检索结果的排序是否合理，往往决定了一个检索系统的质量。
所以，在搜索引擎这样的大规模检索系统中，排序是非常核心的一个环节。简单来说，排序就是搜索引擎对符合用户要求的检索结果进行打分，选出得分最高的 K 个检索结果的过程。这个过程也叫作 Top K 检索。
今天，我就和你仔细来聊一聊，搜索引擎在 Top K 检索中，是如何进行打分排序的。
经典的 TF-IDF 算法是什么？
在搜索引擎的应用场景中，检索结果文档和用户输入的查询词之间的相关性越强，网页排名就越靠前。所以，在搜索引擎对检索结果的打分中，查询词和结果文档的相关性是一个非常重要的判断因子。
那要计算相关性，就必须要提到经典的 TF-IDF 算法了，它能很好地表示一个词在一个文档中的权重。TF-IDF 算法的公式是：相关性 = TF*IDF。其中，TF 是 词频（Term Frequency），IDF 是 逆文档频率（Inverse Document Frequency）。
在利用 TF-IDF 算法计算相关性之前，我们还要理解几个重要概念，分别是词频、文档频率和逆文档频率。
词频 定义的就是一个词项在文档中出现的次数。换一句话说就是，如果一个词项出现了越多次，那这个词在文档中就越重要。
文档频率（Document Frequency），指的是这个词项出现在了多少个文档中。你也可以理解为，如果一个词出现在越多的文档中，那这个词就越普遍，越没有区分度。一个极端的例子，比如“的”字，它基本上在每个文档中都会出现，所以它的区分度就非常低。
那为了方便理解和计算相关性，我们又引入了一个 逆文档频率 的概念。逆文档频率是对文档频率取 倒数，它的值越大，这个词的的区分度就越大。
因此， TF*IDF 表示了我们综合考虑了一个词项的重要性和区分度，结合这两个维度，我们就计算出了一个词项和文档的相关性。不过，在计算的过程中，我们会对 TF 和 IDF 的值都使用对数函数进行平滑处理。处理过程如下图所示：
使用 相关性 = TF*IDF ，我们可以计算一个词项在一个文档中的权重。但是，很多情况下，一个查询中会有多个词项。不过，这也不用担心，处理起来也很简单。我们直接把每个词项和文档的相关性累加起来，就能计算出查询词和文档的总相关性了。
这么说可能比较抽象，我列举了一些具体的数字，我们一起动手来计算一下相关性。假设查询词是「极客时间」，它被分成了两个词项「极客」和「时间」。现在有两个文档都包含了「极客」和「时间」，在文档 1 中，「极客」出现了 10 次，「时间」出现了 10 次。而在文档 2 中，「极客」出现了 1 次，「时间」出现了 100 次。
计算 TF-IDF 需要的数据如下表所示：
那两个文档的最终相关性得分如下：
文档 1 打分 = TF*IDF（极客）+ TF*IDF（时间）= (1+log(10)) * 10 + (1+log(10)) * 1 = 20 + 2 = 22 文档 2 打分 = TF*IDF（极客）+ TF*IDF（时间）=（1+log(1)) * 10 + (1+log(100)) * 1 = 10 + 3 = 13
你会发现，尽管「时间」这个词项在文档 2 中出现了非常多次，但是，由于「时间」这个词项的 IDF 值比较低，因此，文档 2 的打分并没有文档 1 高。
如何使用概率模型中的 BM25 算法进行打分？
不过，在实际使用中，我们往往不会直接使用 TF-IDF 来计算相关性，而是会以 TF-IDF 为基础，使用向量模型或者概率模型等更复杂的算法来打分。比如说，概率模型中的 BM25（Best Matching 25）算法，这个经典算法就可以看作是 TF-IDF 算法的一种升级。接下来，我们就一起来看看，BM25 算法是怎么打分的。
BM25 算法的一个重要的设计思想是，它认为词频和相关性的关系并不是线性的。也就是说，随着词频的增加，相关性的增加会越来越不明显，并且还会有一个阈值上限。当词频达到阈值以后，那相关性就不会再增长了。
因此，BM25 对于 TF 的使用，设立了一个公式，公式如下：
在这个公式中，随着 tf 的值逐步变大，权重会趋向于 k1 + 1 这个固定的阈值上限（将公式的分子分母同时除以 tf，就能看出这个上限）。其中，k1 是可以人工调整的参数。k1 越大，权重上限越大，收敛速度越慢，表示 tf 越重要。在极端情况下，也就是当 k1 = 0 时，就表示 tf 不重要。比如，在下图中，当 k1 = 3 就比 k1 = 1.2 时的权重上限要高很多。那按照经验来说，我们会把 k1 设为 1.2。
除了考虑词频，BM25 算法还考虑了文档长度的影响，也就是同样一个词项，如果在两篇文档中出现了相同的次数，但一篇文档比较长，而另一篇文档比较短，那一般来说，短文档中这个词项会更重要。这个时候，我们需要在上面的公式中，加入文档长度相关的因子。那么，整个公式就会被改造成如下的样子：
你会看到，分母中的 k1 部分被乘上了文档长度的权重。其中，l 表示当前文档的长度，而 L 表示全部文档的平均长度。l 越长，分母中的 k1 就会越大，整体的相关性权重就会越小。
这个公式中除了 k1，还有一个可以人工调整的参数 b。它的取值范围是 0 到 1，它 代表了文档长度的重要性。当 b 取 0 时，我们可以完全不考虑文档长度的影响；而当 b 取 1 时，k1 的重要性要按照文档长度进行等比例缩放。按照经验，我们会把 b 设置为 0.75，这样的计算效果会比较好。
除此以外，如果查询词比较复杂，比如说一个词项会重复出现，那我们也可以把它看作是一个短文档，用类似的方法计算词项在查询词中的权重。举个例子，如果我们的查询词是「极客们的极客时间课程」，那么「极客」这个词项，其实在查询词中就出现了两次，它的权重应该比「时间」「课程」这些只出现一次的词项更重要。因此，BM25 对词项在查询词中的权重计算公式如下：
其中 tfq 表示词项在查询词 q 中的词频，而 k2 是可以人工调整的参数，它和 k1 的参数作用是类似的。由于查询词一般不会太长，所以词频也不会很大，因此，我们没必要像对待文档一下，用 k1 = 1.2 这么小的范围对它进行控制。我们可以放大词频的作用，把 k2 设置在 0~10 之间。极端情况下，也就是当 k2 取 0 时，表示我们可以完全不考虑查询词中的词项权重。
好了，前面我们说了这么多种权重公式，有基础的权重公式、文档中词项的权重公式和查询词中词项的权重公式。那在实际使用 BM25 算法打分的时候，我们该怎么使用这些公式呢？其实，我们可以回顾一下标准的 TF-IDF，把其中的 TF 进行扩展，变为「文档中词项权重」和「查询词中词项权重」的乘积。这样，我们就得到了 BM25 算法计算一个词项和指定文档相关性的打分公式，公式如下：
你会看到，它由 IDF、文档中词项权重以及查询词中词项权重这三部分共同组成。
如果一个查询词 q 中有多个词项 t，那我们就要把每一个词项 t 和文档 d 的相关性都计算出来，最后累加。这样，我们就得到了这个查询词 q 和文档 d 的相关性打分结果，我们用 score(q,d) 来表示，公式如下:
这就是完整的 BM25 算法的表达式了。尽管这个公式看起来比较复杂，但是经过我们刚才一步一步的拆解，你应该可以很好地理解它了，它其实就是对 TF-IDF 的算法中的 TF 做了更细致的处理而已。其实，BM25 中的 IDF 的部分，我们也还可以优化，比如，基于二值独立模型对它进行退化处理（这是另一个分析相关性的模型，这里就不具体展开说了）之后，我们就可以得到一个和 IDF 相似的优化表示，公式如下：
你可以将它视为 IDF 的变体，用来替换公式中原有的 IDF 部分。
总结来说，BM25 算法就是一个对查询词和文档的相关性进行打分的概率模型算法。BM25 算法考虑了四个因子，分别为 IDF、文档长度、文档中的词频以及查询词中的词频。并且，公式中还加入了 3 个可以人工调整大小的参数，分别是 ：k1、k2 和 b。
因此，BM25 算法的效果比 TF-IDF 更好，应用也更广泛。比如说，在 Lucene 和 Elastic Search 这些搜索框架，以及 Google 这类常见的搜索引擎中，就都支持 BM25 排序。不过要用好它，你需要结合我们今天讲的内容，更清楚地理解它的原理。这样才能根据不同的场景，去调整相应的参数，从而取得更好的效果。
如何使用机器学习来进行打分？
随着搜索引擎的越来越重视搜索结果的排序和效果，我们需要考虑的因子也越来越多。比如说，官方的网站是不是会比个人网页在打分上有更高的权重？用户的历史点击行为是否也是相关性的一个衡量指标？
在当前的主流搜索引擎中，用来打分的主要因子已经有几百种了。如果我们要将这么多的相关因子都考虑进来，再加入更多的参数，那 BM25 算法是无法满足我们的需求的。
这个时候，机器学习就可以派上用场了。利用机器学习打分是近些年来比较热门的研究领域，也是许多搜索引擎目前正在使用的打分机制。
那机器学习具体是怎么打分的呢？原理很简单，就是把不同的打分因子进行加权求和。比如说，有 n 个打分因子，分别为 x1到 xn，而每个因子都有不同的权重，我们记为 w1到 wn，那打分公式就是：
Score = w1* x1+ w2* x2+ w3* x3+ …… + wn* xn
那你可能会问了，公式中的权重要如何确定呢？这就需要我们利用训练数据，让机器学习在离线阶段，自动学出最合适的权重。这样，就避免了人工制定公式和权重的问题。
当然，这个打分公式是不能直接使用的，因为它的取值范围是负无穷到正无穷。这是一个跨度很广的范围，并不好衡量和比较相关性。一般来说，我们会使用 Sigmoid 函数对 score 进行处理，让它处于 (0,1) 范围内。
Sigmoid 函数的取值范围是（0，1），它的函数公式和图像如下所示：
Sigmoid 函数图像（x 代表 score，y 代表相关性）
Sigmoid 函数的特点就是：x 值越大，y 值越接近于 1；x 值越小，y 值越接近于 0。并且，x 值在中间一段范围内，相关性的变化最明显，而在两头会发生边际效应递减的现象，这其实也符合我们的日常经验。比方说，一个 2-3 人的项目要赶进度，一开始增加 1、2 个人进来，项目进度会提升明显。但如果我们再持续加人进来，那项目的加速就会变平缓了。
这个打分方案，就是工业界常见的 逻辑回归模型（Logistic Regression）（至于为什么逻辑回归模型的表现形式是 Sigmoid 函数，这是另一个话题，这里就不展开说了）。当然，工业界除了逻辑回归模型的打分方案，还有支持向量机模型、梯度下降树等。并且，随着深度学习的发展，也演化出了越来越多的复杂打分算法，比如，使用 深度神经网络模型（DNN）和相关的变种等。由于机器学习和深度学习是专门的领域，因此相关的打分算法我就不展开了。在这一讲中，你只要记住，机器学习打分模型可以比人工规则打分的方式处理更多的因子，能更好地调整参数就可以了。
如何根据打分结果快速进行 Top K 检索？
在给所有的文档打完分以后，接下来，我们就要完成排序的工作了。一般来说，我们可以使用任意一种高效的排序算法来完成排序，比如说，我们可以使用快速排序，它排序的时间代价是 O(n log n)。但是，我们还要考虑到，搜索引擎检索出来结果的数量级可能是千万级别的。在这种情况下，即便是 O(n log n) 的时间代价，也会是一个非常巨大的时间损耗。
那对于这个问题，我们该怎么优化呢？
其实，你可以回想一下，我们在使用搜索引擎的时候，一般都不会翻超过 100 页（如果有兴趣，你可以试着翻翻，看 100 页以后搜索引擎会显示什么），而且，平均一页只显示 10 条数据。也就是说，搜索引擎其实只需要显示前 1000 条数据就够了。因此，在实际系统中，我们不需要返回所有结果，只需要返回 Top K 个结果就可以。这就是许多大规模检索系统应用的的 Top K 检索 了。而且，我们前面的打分过程都是非常精准的，所以我们今天学习的也叫作 精准 Top K 检索。
当然还有非精准的 Top K 检索，这里先卖个关子，我会在下一讲详细来讲。
那再回到优化排序上，由于只需要选取 Top K 个结果，因此我们可以使用堆排序来代替全排序。这样我们就能把排序的时间代价降低到 O(n) + O(k log n)（即建堆时间 + 在堆中选择最大的 k 个值的时间），而不是原来的 O(n log n)。举个例子，如果 k 是 1000，n 是 1000 万，那排序性能就提高了近 6 倍！这是一个非常有效的性能提升。
