现在有了对贝叶斯方法的概念理解，我们将实际研究使用它的回归模型。为了简单起见，我们从回归的标准线性模型开始。然后添加对采样分布或先验的更改。我们将通过 R 和相关的 R 包 rstan 使用编程语言 Stan。

示例：线性回归模型

在下文中，我们将设置一些初始数据，并使用标准 lm 函数运行模型比较。

设置

首先，我们需要创建在此处使用的数据。

# 设置可复制种子

set.seed(8675309)

# 运行 lm 以供稍后比较； 但如果需要，请立即检查

modlm = lm(y~., data=data.frame)

此时我们有三个协变量和一个 y，它是正态分布线性函数，标准差等于 2。系数的总体值包括截距分别为 5、0.2、-1.5 和 0.9，尽管添加了噪声，但样本的实际估计值略有不同。现在我们准备好为输入到 Stan 的数据设置一个 R 列表对象，以及对这些数据进行建模的相应 Stan 代码。

我将展示在 R 中通过单个字符串实现的所有 Stan 代码，然后提供每个相应模型块的一些细节。但是，这里的目标不是专注于工具，而是专注于概念。

Stan 的数据列表应包括 Stan 代码中可能使用的任何矩阵、向量或值。例如，与数据一起，可以包括样本大小、组指标（例如混合模型）等。在这里，我们可以只使用样本大小 (N)、模型矩阵中的列数 (K)、目标变量 (y) 和模型矩阵 (X)。

# 为stan输入创建数据列表对象

dat = list

接下来是 Stan 代码。在 R2OpenBugs 或 rjags 中，可以使用代码调用单独的文本文件，并且可以对 rstan 执行相同操作，但出于我们的目的，我们在 R 代码中显示它。首先要注意的是模型代码。接下来，Stan 有必须按顺序调用的编程块。我将在代码中列出所有块来记录它们的顺序并依次讨论每个块。// 或 # 之后或 / / 之间的任何内容都是与代码相关的注释。而分布用 ∼∼ 指定，例如， y ~ normal(0, 1) 表示 y 正态分布，均值为 0，标准差为 1。

此外，要安装 rstan，需要通过 CRAN 或 GitHub。它不需要单独安装 Stan 本身，但它确实需要几个步骤并且需要 C++ 编译器。一旦你安装了 rstan，它就会像任何其他 R 包一样被调用。

# 使用语法创建模型对象

stanmodelcode = "
data { // 数据块
  int<lower=1> N; // 样本大小
  int<lower=1> K; // 模型矩阵的尺寸
/* 
转换后的数据 { // 转换后的数据块。目前不使用。
} 
*/
参数// 参数块
  real<lower=0> sigma; // 误差比例
}
模型 // 模型块
  mu = X * beta; // 创建线性预测器
  
  // 先验指标
  sigma ~ cauchy(0, 5); // 由于sigma被限定在0
  
  // 似然
  y ~ normal(mu, sigma);
/*
生成量 { // 生成量块

Stan代码

第一部分是数据块，我们告诉 Stan 它应该从数据列表中获得的数据。设置边界作为对数据输入的检查，这就是 < > 。声明的前两个变量是 N 和 K，都是整数。接下来代码分别声明模型矩阵和目标向量。我们声明变量的类型和维度，然后声明其名称。在 Stan 中，在一个块中声明的所有内容都可用于后续块，但在一个块中声明的内容不会在更早的块中使用，例如声明 N 和 K, 然后可以随后使用，就像我们指定模型矩阵的维度一样 X。

作为参考，以下内容来注明了感兴趣的变量以及将在其中声明它们的相关块。

转换后的数据块是您可以执行对数或中心化等类似操作的地方，即您可以根据输入数据或一般情况下创建新数据。但是，如果您使用的是 R，那么首先在 R 中执行这些操作并将它们包含在数据列表中。您还可以在此处声明任何未建模的参数，例如您希望固定为某个值的参数。

01

02

03

04

要估计的主要感兴趣的参数位于参数块中。与数据块一样，您只能声明这些变量，不能进行任何赋值。在这里，我们注意到要估计的 β 和 σ，后者的下限为零。在实践中，如果截距或其他系数在显着不同的尺度上，您可能更愿意将它们分开建模。

转换后的参数块是可能包含可选参数的地方。为了提高效率，您通常只想放置依赖于参数块的特定兴趣的东西。

模型块是指定您的先验和可能性以及任何必要变量的声明的地方。例如，此处包含线性预测器，因为它将趋向于似然. 请注意，我们可以将线性预测器放在转换后的参数部分，但这会减慢过程，而且我们对这些特定值不太感兴趣。

我对系数使用的是正态先验，平均值为零，标准差很大。对于σ的估计，我使用的是Cauchy 分布。许多使用BUGS的回归例子都会使用反伽马先验，这对这个模型来说是完全可以的，尽管它对其他方差参数的效果并不理想。如果我们没有为参数的先验分布指定任何东西，均匀分布是默认的。

最后，你想计算的任何东西都可以放在这里--对新数据的预测、参数的比率、参数大于x的次数、为报告目的的参数转换等等。我们稍后将对此进行演示。

运行模型

现在我们对代码的作用有了一个概念。贝叶斯估计，像最大似然法一样，以初始猜测为起点，然后以迭代的方式运行，每一步都从后验分布中产生模拟抽样，然后纠正这些抽样，直到最后达到某个目标，或平稳分布。这一部分是关键，与经典的统计学不同。我们的目标是一个分布，而不是一个点估计。

这个模拟过程被称为马尔科夫链蒙特卡洛，简称MCMC。这个过程的具体细节使许多贝叶斯编程语言/方法与众不同。在MCMC中，所有来自后验的模拟抽样都是基于以前的抽样并与之相关的，因为这个过程是沿着走向平稳分布的道路前进的。我们通常会让这个过程预烧，或者说从最初的起点开始有点稳定下来，这可能会有很大的偏差，因此在最初的几次迭代中，后续的估计值也会有很大的偏差。然而，作为进一步的检查，我们将多次运行整个过程，也就是说，有一个以上的链。由于这些链将从不同的地方开始，如果多个链最后都到达了同一个结果，我们就可以对结果更有信心。

你会注意到Stan将其代码编译为C++的时间可能比运行模型的时间要长，而在我的电脑上，每条链只需要一秒钟多一点的时间。然而，贝叶斯方法曾经需要很长的时间，即使是像这样的标准回归，这也许是贝叶斯分析在过去几十年里才流行起来的主要原因；我们根本没有机器来有效地做这件事。即使是现在，对于高度复杂的模型和大数据集来说，它仍然需要很长的时间来运行，尽管通常不会太长。

在下面的代码中，我们注意到包含stan模型代码的对象，数据列表，我们想要多少次迭代（5000），我们想要这个过程在开始保留任何估计值之前运行多长时间（warmup=2500），我们想要保留多少次后验的抽取（thin=10意味着每十次抽取），以及链的数量（chains=4）。最后，我们将有四条链，从参数的后验分布中抽取1000次。即使在verbose = FALSE的情况下，Stan也会向R控制台输出大量的输出，我在这里省略，但是你会看到一些关于编译过程的初始信息，当每条链通过iter参数中指定的10%的迭代时的更新，以及最后对耗时的估计。

library(rstan)

### 运行模型并检查结果

fit (
           
           warmup = 2500,
           chains = 4)

随着模型的运行，我们现在可以检查结果。在下文中，我们指定要显示的数字精度，我们想要哪些参数，以及我们想要哪些后验抽样的量级，在本例中是中位数和那些会产生95%区间估计的参数。

# 摘要

print(fit

到目前为止还不错。平均估计值反映了感兴趣的参数的后验结果的平均值，是标准回归分析中报告的典型系数。值得注意的是95%的概率或置信区间，因为它们不是你所知道的置信区间。这里没有重复抽样的解释。概率区间是更直观的。它的意思很简单，根据这个模型的结果，真实值有95%的可能性会落在这两点之间。

将这些结果与R的lm函数的结果相比较，我们可以看到我们得到了类似的估计值，因为它们在小数点后两位是相同的。事实上，如果我们使用统一先验，模型与用标准最大似然估计所做的基本相同。

summary

但是我们怎么知道我们的模型是否运作良好呢？有几个标准的诊断方法，但让我们看一下目前的一些情况。在摘要中，se\_mean是蒙特卡洛误差，是对只有有限数量的后验抽样所带来的不确定性的估计。n\_eff是给定所有链的有效样本量，基本上占了链中的自相关，即当我们从一次抽样到下一次抽样时估计的相关性。它实际上不需要很大，但如果它相对于所需的总抽样数来说很小，那就可能引起关注了。Rhat是衡量链的混合程度的指标，当链被允许运行无限次抽样时，它就会变成1。在这种情况下，n_eff和Rhat表明我们有很好的收敛性，但我们也可以用跟踪图来直观地检查。

# 可视化

srace(fit'))

我们可以看到跟踪图中，每条链的估计值都能很快地从起点找到一个或多或少的稳定状态（灰色的初始预烧迭代）。此外，所有三条链（每条链都用不同的颜色表示）都混合得很好，并在同一结论附近跳动。

stan开发团队通过shinystan包使交互式探索诊断变得很容易。此外，coda包中还有其他诊断方法，Stan模型的结果可以很容易地转换为与之配合。下面的代码演示了如何开始。

bets = extract$beta

除了制作数据列表和产生特定语言的模型代码的初始设置之外，相对于标准模型，运行贝叶斯回归模型并不一定需要太多的时间。最主要的也许是采用不同的思维方式，并从这个新的角度来解释结果。对于你所熟悉的标准模型，可能不需要太长的时间就能像使用那些模型一样自如。