浅谈二叉树

简介: 浅谈二叉树

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一、树形结构


1.1 概念


树是一种 非线性 的数据结构,它是由 n (n>=0) 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的 。它具有以下的特点:

有一个特殊的结点,称为根结点,根结点没有前驱结点

除根结点外,其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继

树是递归定义的。

2.png

注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构  


1.2 关于树的一些概念术语


3.png

结点的度 :一个结点含有子树的个数称为该结点的度; 如上图: A 的度为 6

树的度 :一棵树中,所有结点度的最大值称为树的度; 如上图:树的度为 6

叶子结点或终端结点 :度为 0 的结点称为叶结点; 如上图: B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶结点

双亲结点或父结点 :若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父结点; 如上图: A 是 B 的父结点

孩子结点或子结点 :一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点; 如上图: B 是 A 的孩子结点

根结点 :一棵树中,没有双亲结点的结点;如上图: A

结点的层次 :从根开始定义起,根为第 1 层,根的子结点为第 2 层,以此类推

树的高度或深度 :树中结点的最大层次; 如上图:树的高度为 4

树的以下概念只需了解,在看书时只要知道是什么意思即可:

非终端结点或分支结点 :度不为 0 的结点; 如上图: D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支结点

兄弟结点 :具有相同父结点的结点互称为兄弟结点; 如上图: B 、 C 是兄弟结点

堂兄弟结点 :双亲在同一层的结点互为堂兄弟;如上图: H 、 I 互为兄弟结点

结点的祖先 :从根到该结点所经分支上的所有结点;如上图: A 是所有结点的祖先

子孙 :以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图:所有结点都是 A 的子孙

森林 :由 m ( m>=0 )棵互不相交的树组成的集合称为森林


1.3 树的表示形式


树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,如: 双亲表示法、 孩子表示法 、 孩子双亲表示法 、 孩子兄弟表示法 等等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

class Node {
   int value; // 树中存储的数据
   Node firstChild; // 第一个孩子引用
   Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

4.png


1.4 树的应用


文件系统管理(目录和文件)


5.png

了解了上面的基础知识,那我们就来看一下二叉树到底是什么!


二、二叉树


2.1 概念


一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:

1. 或者为空

2. 或者是由 一个根节 点加上两棵别称为 左子树 和 右子树 的二叉树组成

6.png


从上图可以看出:

二叉树不存在度大于2的结点

二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:


7.png


2.2 两种特殊的二叉树


满二叉树 : 一棵二叉树,如果 每层的结点数都达到最大值,则这棵二叉树就是满二叉树 。也就是说, 如果一棵 二叉树的层数为 K ,且结点总数是2^k -1  ,则它就是满二叉树 。

完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。


image.png


2.3 二叉树的重要性质


1. 若规定 根结点的层数为 1 ,则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 (i>0)个结点

2. 若规定只有 根结点的二叉树的深度为 1 ,则 深度为 K的二叉树的最大结点数是-1(k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 = n2 +1

4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k为向上取整

5.对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:


若i>0,双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根结点编号,无双亲结点

若2i+1<n,左孩子序号:2i+1,否则无左孩子

若2i+2<n,右孩子序号:2i+2,否则无右孩子


2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构 分为: 顺序存储 和 类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的,常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ,具体如下:

// 孩子表示法
class Node {
   int val; // 数据域
   Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
   Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
   int val; // 数据域
   Node left; // 左孩子的引用,常常代表左孩子为根的整棵左子树
   Node right; // 右孩子的引用,常常代表右孩子为根的整棵右子树
   Node parent; // 当前节点的根节点
}


2.5 二叉树的基本操作


2.5.1 二叉树的类定义


public class BinaryTree {
    static public class TreeNode{
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;
        public TreeNode(char val){
            this.val=val;
        }
    }
}


2.5.2 二叉树的创建


二叉树是递归定义的,因此可以通过递归来创建一颗二叉树,也可以通过穷举法来创建。我们先通过穷举法来创建,后续我会给大家分享递归创建二叉树。


   public TreeNode CreatBinaryTree(){
        TreeNode A=new TreeNode('A');
        TreeNode B=new TreeNode('B');
        TreeNode C=new TreeNode('C');
        TreeNode D=new TreeNode('D');
        TreeNode E=new TreeNode('E');
        TreeNode F=new TreeNode('F');
        TreeNode G=new TreeNode('G');
        TreeNode H=new TreeNode('H');
        A.left=B;
        A.right=C;
        B.left=D;
        B.right=E;
        C.left=F;
        C.right=G;
        D.left=H;
        return A;
    }


通过上面的穷举法,我们就创建了下面这样一棵二叉树:

9.png


2.5.3 二叉树的前序遍历


递归遍历:


    public void preOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }


非递归遍历:


    public void preOrderNor(TreeNode root){
        Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
        TreeNode cur=root;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while(cur!=null){
                System.out.print(cur.val+" ");
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur=top.right;
            }
        }


2.5.4 二叉树的中序遍历


递归遍历:


    public void inOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }


非递归遍历:


    public void inOrderNor(TreeNode root){
        Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
        TreeNode cur=root;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while(cur!=null){
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            }
            TreeNode top=stack.pop();
            System.out.print(top.val+" ");
            cur=top.right;
        }
    }


2.5.5 二叉树的后序遍历


递归遍历:


    public void postOrder(TreeNode root){
        if(root==null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }


非递归遍历:


    public void postOrderNor(TreeNode root){
        Stack<TreeNode> stack=new Stack<>();
        TreeNode cur=root;
        TreeNode prev=null;
        while(cur!=null || !stack.empty()){
            while(cur!=null){
                stack.push(cur);
                cur=cur.left;
            }
            TreeNode top=stack.peek();
            if(top.right==null || top.right==prev){
                System.out.print(top.val+" ");
                stack.pop();
                prev=top;//记录最新被打印的节点
            }else{
                cur=top.right;
            }
        }
    }

 


2.5.6 获取树中节点个数


    public int size(TreeNode root){
         if(root==null){
             return 0;
         }
         return size(root.left)+size(root.right)+1;
    }


2.5.7 获取叶子节点个数


    public int getLeafNodeCount(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null && root.right==null){
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left)+getLeafNodeCount(root.right);
    }


2.5.8 获取第K层节点个数


    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(k==1){
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }


2.5.9 获取二叉树的高度


    public int getHeight(TreeNode root){
        if(root==null){
            return 0;
        }
     /*   if(root.left==null && root.right==null){
            return 1;
        }*/
        int leftHeight=getHeight(root.left);
        int rightHeight=getHeight(root.right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;
    }


2.5.10 查找二叉树中是否存在值为val的节点


    TreeNode find(TreeNode root, char val){
        if(root==null){
            return null;
        }
        if(root.val==val){
            return root;
        }
        TreeNode ret1=find(root.left,val);
        if(ret1!=null){
            return ret1;
        }
        TreeNode ret2=find(root.right,val);
        if(ret2!=null){
            return ret2;
        }
        return null;
    }



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