不同路径
62 . 不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish” )。
问总共有多少条不同的路径?
输入:m = 3, n = 7
输出:28
示例 2:
输入:m = 3, n = 2
输出:3
解释:
从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下示例 3:
输入:m = 7, n = 3
输出:28
示例 4:
输入:m = 3, n = 3
输出:6
1.状态表示
dp[i][j] 表示的是走到[i][j]位置时候的所有路径数量。
2.状态转移方程
动态规划题,我们需要学会依靠经验和题目解析去猜测他们的状态转移方程。
走到[i][j]位置时,根据题意,有两种情况:
- 从 [i-1][j]位置 向上走一步到 [i][j];
- 从 [i][j-1]位置 向右走一步到 [i][j];
所以dp[i] 的值是这两种情况的方法总和:
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
3. 初始化
从递推公式可以看出,我们需要初始化 dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列,
初始化比较繁琐,我们可以将初始化dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列 这一步骤放入填表中。
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」,帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点:
- i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」;
- ii. 「下标的映射关系」。
在本题中「添加⼀⾏」,并且「添加⼀列」后,只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。
4. 填表顺序
填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏,在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。
5. 返回值
应该返回 dp[m][n] 的值。
代码:
int uniquePaths(int m, int n) { vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1)); dp[0][1]=1; for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]; } } return dp[m][n]; }
不同路径 II
63 . 不同路径 II
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为 “Start” )。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为 “Finish”)。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径?
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
输入:obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出:2
解释:3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径:
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
1.状态表示
dp[i][j] 表示的是走到[i][j]位置时候的所有路径数量。
2.状态转移方程
动态规划题,我们需要学会依靠经验和题目解析去猜测他们的状态转移方程。
走到[i][j]位置时,根据题意,有两种情况:
- 从 [i-1][j]位置 向上走一步到 [i][j];
- 从 [i][j-1]位置 向右走一步到 [i][j];
- 但是当 某个位置出现障碍物时 ,比如在 [2][3] 位置上有障碍物,我们无法从[2][3] 走到 [3][3] 或者 [2][4],所以dp[2][3] 的值为 0;
所以dp[i] 的值是 0 和:
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
3. 初始化
从递推公式可以看出,我们需要初始化 dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列,
初始化比较繁琐,我们可以将初始化dp[0][j] 这一行和 dp[i][0] 这一列 这一步骤放入填表中。
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」,帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点:
- i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」;
- ii. 「下标的映射关系」。
在本题中「添加⼀⾏」,并且「添加⼀列」后,只需将 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。
4. 填表顺序
填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏,在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。
5. 返回值
应该返回 dp[m][n] 的值。
代码:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) { int m=obstacleGrid.size(); int n=obstacleGrid[0].size(); vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1)); dp[0][1]=1; for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { if(obstacleGrid[i-1][j-1]==1) dp[i][j]=0; else dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]; } } return dp[m][n]; }