1.算法描述
QMF
在滤波器的某些附加条件下，与分析滤波器组和合成滤波器组相关联的变换是正交的。正态性意味着样品的能量在转换过程中保持不变。如果满足这些条件，滤波器具有以下显著特性：合成滤波器是分析滤波器的时间反转版本，高通滤波器是低通滤波器的调制版本，即，其中K是整数延迟。这种滤波器通常被称为正交镜滤波器（QMF）、共轭正交滤波器（CQF）或功率互补滤波器，因为两个低通（分别为高通）滤波器具有相同的频率响应，并且低通和高通滤波器的频率响应通过功率互补特性，适用于所有频率。滤波器h0（n）被视为原型滤波器，因为它自动确定其他三个滤波器。
在滤波器的某些附加条件下，与分析滤波器组和合成滤波器组相关联的变换是正交的。正态性意味着样品的能量在转换过程中保持不变。如果满足这些条件，滤波器具有以下显著特性：合成滤波器是分析滤波器的时间反转版本，高通滤波器是低通滤波器的调制版本，即，其中K是整数延迟。这种滤波器通常被称为正交镜滤波器（QMF）、共轭正交滤波器（CQF）或功率互补滤波器，因为两个低通（分别为高通）滤波器具有相同的频率响应，并且低通和高通滤波器的频率响应通过功率互补特性，适用于所有频率。滤波器h0（n）被视为原型滤波器，因为它自动确定其他三个滤波器。
QMF 正交镜像滤波器和共轭QMF
最小相位：所有的零点都在单位圆内或者单位圆上最大相位：所有零点都在单位圆外
CQMFB
滤波器组包括分析滤波器组和综合滤波器组。分析滤波器组将信号分成M个子带，对每个子带做M倍的抽取。综合滤波器组做M倍插值，得到和原信号相同的抽样率，实现信号的重建。
当M=2时，分析滤波器组由一个低通滤波器和一个高通滤波器组成，把信号分成一个低通信号和一个高通信号。对于一个给定的信号，经过分析滤波器后，再进行抽取、编码、传输，可以通过零值内插、综合滤波器滤波、求和运算得到恢复和重建。重建后的信号与原始信号存在误差，误差来源包括：
混叠失真
抽取和内插产生的混叠和镜像带来的误差，导致分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开。
幅度失真
由于分析和综合滤波器组的频带在通带内不是全通函数，其幅频特性波纹产生的误差。
相位失真
由滤波器相频特性的非线性所产生的误差。
量化失真
由编、解码产生的误差，与量化噪声相似，这类误差无法完全消除，只能设法减小。
3.完全重建QMFB的设计
选定W，对应不同的输入信号 ，改变的大小求出均方误差，通过比较得到最优的值；
固定N，对应不同的输入信号 ，改变的大小求出均方误差，通过比较得到最优的值。至此，找到了使得完全重建QMFB效果最好的参数和。
2.仿真效果预览
matlab2022a仿真结果如下：
3.MATLAB核心程序
for j=1:N+1
tmp(2*j-1)=0.5*hsb(j);
tmp(2*j)=0;
end
hlf=tmp(1:(2*N+1));
hlf(N+1)=hlf(N+1)+0.5;
wf=0:pi/N0:pi*(N0-1)/N0;
wff=0:0.5/N0:(N0-1)/N0/2;
a=1;
Gw= freqz(hlf,a,wf);
Ew=exp(i*2*N*wf/2);
Gr=Ew.*Gw;
% Gr 现在是零相位半带滤波器的频率特性，，其虚部应为零，实际上是滤波器的“增益”
mmax=max(real(Gr))
mmin=min(real(Gr))
subplot(222)
plot(wff,real(Gr));grid;
%title('half band filter HLF(z)')
% 获得“增益”恒正的半带滤波器， P+
hlf(N+1)=hlf(N+1)+abs(mmin);
p=hlf*0.5/(0.5+abs(mmin));
subplot(223)
stem(p,'.');grid;
%title('halfband filter p(n)');
Gw= freqz(p,a,wf);
Gr=Ew.*Gw;
subplot(224)
plot(wff,real(Gr));grid;
%title('halfband filter P(z)');
%save p.mat p;
%---------------------------------------------------------------------
% 谱分解部分，求出 h0(n);
l=2*N+1;
A=zeros(l,1);
A(1)=1;
A=A';
[Z,P,K]=tf2zp(p,A);
Z1=sort(Z)
ll=length(Z1)/2;
ZZ=Z1(1:ll);
temp=1;
for m=1:ll
temp=(-ZZ(m))*temp;
end
if imag(temp)<0.0001
temp=real(temp);
end
KK=sqrt(K/temp);
l2=length(ZZ);
PP=zeros(l2,1);
[h0,P1]=zp2tf(ZZ,PP,KK);
subplot(122)
zplane(h0,P1);
title('the zeros and poles after resolve')
%-----------------------------------------------------------------------------
% 利用CQMFB四个滤波器之间的关系，得到 h1, g0, g1;
h1=qmf(h0,1);
g0=-wrev(h0);
g1=qmf(g0);
% 求出并画出分析滤波器组的对数幅频特性；
[H0,w]= freqz(h0,a,N0,Fs);
[H1,w]= freqz(h1,a,N0,Fs);
absH0=abs(H0);
absH1=abs(H1);
ah0=20*log10(absH0);
ah1=20*log10(absH1);