拆分和膨胀三角形后，为什么能够近似表示曲面？

在计算机图形学中，当需要表示复杂的曲面时，直接使用三角形来精确表示这些曲面可能会非常复杂和计算密集。为了简化这个过程，可以采用两种策略：拆分（Subdivision）和膨胀（Expansion）。这两种技术都能够通过逐步增加三角形的数量来逼近曲面的形状，从而在保持一定精度的条件下简化计算。

拆分（Subdivision）

拆分是一种迭代过程，它通过将每个三角形细分为更小的三角形来近似曲面。这个过程可以递归地进行，每次迭代都将原来的三角形拆分为更小的三角形，直到达到所需的逼近精度。
拆分的关键思想是利用局部信息来更新每个三角形的顶点位置。例如，在Catmull-Clark细分中，每个顶点都会被其周围的顶点更新，这些顶点代表了原始三角形和其邻居三角形的信息。

膨胀（Expansion）

膨胀是一种在保持曲面形状的同时增加三角形数量的方法。这种方法通常与网格生成技术结合使用，它通过在曲面上的某些点上添加额外的顶点来扩大三角形网格。这些新顶点的添加是基于曲面的几何特性，如曲率变化或特征点。
膨胀的优点是它可以在保持曲面形状的同时增加网格的密度，从而提高计算的精度。这种方法特别适用于需要精细控制网格密度的应用，如有限元分析或流体动力学模拟。

为什么有效

这两种方法之所以有效，是因为它们都利用了局部信息来近似曲面的整体形状。拆分和膨胀都能够在不改变曲面整体形状的前提下，通过增加细节来提高逼真度。
拆分方法通过迭代地增加三角形数量来逼近曲面，而膨胀方法则通过添加额外的顶点来增加细节。这两种方法都能够有效地在保持曲面形状的前提下，提高网格的精度，使得计算机图形学中的复杂曲面能够以较低的计算成本和存储需求进行表示。

通过不断拆分三角形，并将顶点膨胀到圆弧所在的位置，我们可以得到一系列更小的、形状更接近圆弧的三角形。随着拆分次数的增加，这些三角形的数量会急剧增加，形状也会更加逼近真实的曲面。因此，通过这种方法，我们可以使用大量的三角形来近似表示复杂的曲面形状。在图形学和计算机视觉中，这种方法被广泛应用于曲面建模和渲染等领域。