点积的几何意义是什么？

点积的几何意义可以从以下几个方面理解：

投影长度：点积可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。具体来说，如果 \vec{A}
A
是 \vec{B}
B
在 \vec{A}
A
方向上的投影，那么 \vec{A} \cdot \vec{B} = ||\vec{A}|| \cdot ||\vec{B}|| \cdot \cos(\theta)
A
⋅
B
=∣∣
A
∣∣⋅∣∣
B
∣∣⋅cos(θ)，其中 \thetaθ 是两个向量之间的夹角。
夹角余弦值：点积也可以用来计算两个向量之间的夹角的余弦值。具体来说，\vec{A} \cdot \vec{B} = \cos(\theta)
A
⋅
B
=cos(θ)，其中 \thetaθ 是两个向量之间的夹角。
向量正交性：如果两个向量正交，即它们之间的夹角为90度，那么它们的点积为0。如果两个向量平行，那么它们的点积等于它们模长的乘积。
点积在计算机图形学中广泛应用于光照模型，如Phong和Blinn-Phong模型，以及碰撞检测等

是第一个向量投影到第二个向量上（注意，向量的顺序在点积运算中是不重要的，因为点积是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这个投影长度与第二个向量长度的比值（即标准化后的投影长度）是一个小于或等于1的数，它可以被简单地转化成一个角度值，以表示两个向量之间的相对方向。