编程的进制有多少种？分别是怎样计算的？举例说明！

无数个进制，比较实用的是 2进制 8进制 16进制，

二进制-逢二进一 八进制-逢八进一 十进制-逢十进一 ~_~。 十六进制-逢十六进一

十六 十 八 二 计算机内部是以二进制形式表示数据和进行运算的；计算机内的地址等信号常用十六进制来表示，而人们日常又习惯用十进制来表示数据。这样要表示一个数据就要选择一个适当的数字符号来规定其组合规律，也就是要确定所选用的进位计数制。各种进位制都有一个基本特征数，称为进位制的“基数”。基数表示了进位制所具有的数字符号的个数及进位的规律。下面就以常用的十进制、二进制、八进制和十六进制为例，分别进行叙述。 一、常用的三种计数制 1、十进制（Decimal） 十进制的基数是10，它有10个不同的数字符号，即0、1、2、3、…、9。它的计数规律是“逢十进一”或“借一当十”。处在不同位置的数字符号具有不同的意义，或者说有着不同的“权”。所谓的“权”就是每一位对其基数具有不同的倍数。例如，一个十进制数为 123．45=1*102+2*101+3*100+4*10-1+5*10-2 等号左边为并列表示法，等号右边为多项式表示法，显然这两种表示法表示的数是等价的。在右边多项式表示法中，1、2、3、4、5被称为系数项，而102、101、100、10-1、10-2等被称为该位的“权”。 一般来说，任何一个十进制数”都可以采用并列表不法表不如下： N10=dn-1d n-2…d1d0. d-1d-2…d-m 其中，下标n表示整数部分的位数，下标m表示小数部分的位数，d是0~9中的某一个数，即di∈（0，1，…，9）。同样，任意一个十进制数N都可以用多项式表示法表示如下： N10=dn-1*10n-1+…+d1*101+d0*100+d-1*10-1+…+d-m*10m 其中，m、n为正整数，di 表示第i位的系数，10i 称为该位的权。所以某一位数的大小是由各系数项和其权值的乘积所决定的。 2、二进制（Binary） 二进制的基数是2，它只有两个数字符号，即0和1。计算规律是“逢二进一”或“借一当二”。例如： （101．01）2=1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2 任何一个二进制数Ｎ都可以用其多项式来表示： N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…+d1*21+d0*20+d-1*2-1+d-2*2-2+…+d-m*2-m 式中任何一位数值的大小都可以用该位的系数项 di 和权值 2i 的积来确定。 3、十六进制（Hexadecimal） 十六进制的基数为16，它有16个数字符号、即0~9、A~F。其中 A、B、C、D、E、F 分别代表十进制数的10、11、12、13、14、15。各位之间“逢十六进一”或者“借一当十六”。各位的权值为 16i。例如： （2C7.1F）16=2*162+12*161+7*160+1*16-1+15*16-2 二、3种计数制之间的相互转换 对于同一个数，可以采用不同的计数制来表示，其形式也不同。如： （11）10=（1011）2=（B）16 1、R 进制转换成十进制的方法 具体的方法是先将其并列形式的数写成其多项式表示形式，然后，经计算后就可得到其十进制的结果。这种方法披称为按权展开法。对于一个任意的R进制数N都可以写成如下形式： N = dn-1 dn-2…d1 d0d-1d-2…d-m = dn-1*Rn-1+…+d1*R1+d0*R0+d-1*R-1+…+d-m*R-m 其中，R 为进位基数，Ri 是对应位的权值，di 为系数项，特此式求和计算之后，即可以完成 R 进制数对十进制数的转换。 例如，写出（1101.01）2、（10D）16的十进制数。 （1101.01）2=1*23+1*22+0*21+1*20+0*2-1+0*2-2 =8+4+1+0.25 ＝13.25 （10D）16=1*162+0*161+13*160 = 256＋13 = 269 2、十进制转换成二进触方法 十进制数转换成二进制数一般分为两个步骤，即整数部分的转换和小数部分的转换。 （1）整数部分的转换 除2取余法：这种方法是由于 D10=N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…d1*21+d0*20，所以具体方法是把给定的十进制整数除以2，取其余数作为二进制整数最低位的系数 do，然后继续将整数部分除以2，所得余数作为二进制整数次低位的系数 d1，一直重复下去，最后可以得到二进制整数部分。 例如，将（327）10转换成二进制数。 327 余数 各项系数 除以2= 163 ... 1 d0 ... 81 ... 1 d1 ... 40 ... 1 d2 ... 20 ... 0 d3 ... 10 ... 0 d4 ... 5 ... 0 d5 ... 2 ... 1 d6 ... 1 ... 0 d7 ... 0 ... 1 d8 所以，（327）10=d8 d7 d6 d5 d4 d3 d2d1 d0=（101000111）2。 此方法可扩展为陈 R 取余法。如将 R 设为16，则可将十进制整数转变为十六进制整数。 减权定位法：因为 D10=N2=dn-1*2n-1+dn-2*2n-2+…d1*21+d0*20，所以二进制多项式中的每一项都有自己的权值。若该项系数值为 di=0，则该项值为0，否则 di 应为1。根据这一对应关系，可提出减权定位的转换方法：将十进制数依次从二进制高位权值进行比较：若够减则对应位 di=1，减去该位权值后再往下比较；若不够减则对应值 di=0，越过该位与低一位的权值比较，如此进行直到余数为0为止。 例如，将（327）10转换成二进制数。因为512（29）> 327 > 256（28），所以从权值256对应值开始比较。 减权比较 di 位权 327-256=71 1 28 71<128 0 27 71-64=7 1 26 7<32 0 25 7<16 0 24 7<8 0 23 7-4=3 、 22 3-2=1 1 21 1-1=0 1 20 所以，（327）10＝（101000111）2。 （2）小数部分的转换 转换的方法是采用乘2取整数表示法。由于 D10=d-1*2-1+d-2*2-2+…d-m*2-m，所以具体方法是把给定的十进制小数乘以2，取其整数部分作为二进制小数的小数点后的第一位系数；然后再将乘积的小数部分继续乘以2，取所得积的整数部分作为小数后的第二位系数；依次重复做下去，就可以得到二进制小数部分。 例如，将（0．8125） 10。转换成二进制小数。 整数部分 系数部分 2*0.8125=1.625 1 d-1=1 2*0.625=1.25 1 d-2=1 2*0.25=0.5 0 d-3=0 2*0.5=1.0 1 d-4=1 所以，（0.8125）10=d0 d-1 d-2 d-3 d-4=（0.1101）2。 在计算中可以按照所需的小数点位数，取其结果位近似值。 此方法可以扩展为乘R取整法．如将R变为16，则可将十进制小数部分直接变为十六进制小数。 3、二进制与十六进制的转换 （1）二进制转换成十六进制 4位二进制数的所有组合可表示十六进制数的16个代码，它们之间的对应关系如下： 二进制 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 十六进制 8 9 A B C D E F 进制转换的具体方法：从小数点开始，分别向左、向右，每4位二进制数为一组用十六进制数值来书写。若小数点左侧位数不是4的倍数，则最左侧用0补充；若小数点右侧位数不是4的倍数，则最右侧用0补充。 例如，（110110111.01101）2=（0001 1011 0111.0110 1000）2 =（1B7.68）16。 （2）十六进制转换成二进制 具体的转换方法是：将每个十六进制数用4位二进制数来书写，转化后最左侧或者最右侧的0在书写的时候可以省去。例如： （7AC.DE）16=（111 1010 1100.1101 111）2 例1：把（5／16）10转换成二进制数。 解：5／16=5×2-4=（101 2*（0.0001）2=（0.0101）2 小数点向左移4位等于乘以2-4。 例2：把（19．125） 10转换成二进制数、十六进制数。 解：首先把整数部分（19）10转换成二进制数： （19）10=16+2+1=24+21+20=（10011）2 再把小数部分（0．125）10转换成二进制数： 0.125*2=0.25 0 0．25*2=0.5 0 0．5*2=1 1 所以，（0.125）10=（0.001） 2。 把整数与小数部分合起来结果为 （19.125）10=（10011.001）2=（13.2）16

十进制,二进制,八进制,十六进制及之间的转换 进制概念 1。 十进制 十进制使用十个数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）记数，基数为10，逢十进一。 历史上第一台电子数字计算机ENIAC是一台十进制机器，其数字以十进制表示，并以十进制形式运算。设计十进制机器比设计二进制机器复杂得多。而自然界具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关，电路的通和断，电压的高和低等，非常适合表示计算机中的数。设计过程简单，可靠性高。因此，现在改为二进制计算机。 2。 二进制 二进制以2为基数，只用0和1两个数字表示数，逢2进一。 二进制与遵循十进制数遵循一样的运算规则，但显得比十进制更简单。例如： （1）加法：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 （2）减法：0-0=0 1-1=0 1-0=1 0-1=1 （3）乘法：0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 （4）除法：0/1=0 1/1=1，除数不能为0 3。 八进制 所谓八进制，就是其基数为8，基数值可以取0、1、2、3、4、5、6、7共8个值，逢八进一。 八进制与十进制运算规则一样。那么为什么要用八进制呢。难道要设计八进制的计算机么。实际上，八进制与十六进制的引用，主要是为了书写和表示方便，因为二进制表示位数比较长。如：（1024）10 用二进制表示为 （10000000000）2，共有11个数字，用八进制表示为（2000）8。更重要的是，由于二进制与八进制存在在一种对等关系，每三位二进制与一位八进制数完全对等（23=8）。所以二进制和十进制在运算上无区别，而时进制不具备这一优点。 4。 十六进制 十六进制应用也是非常广泛的一种计数制。在使用者看来，十六进制是二进制数的一种更加紧凑的一种表示方法。 基数为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，逢十进一。在十六进制系统中，数值为10到15的数分别用A、B、C、D、E、F表示。 二进制数及与之等值的八进制、十进制和十六进制数 二进制 八进制 十进制 十六进制 0000 0 0 0 0001 1 1 1 0010 2 2 2 0011 3 3 3 0100 4 4 4 0101 5 5 5 01106 6 6 0111 7 7 7 1000 10 8 8 1001 11 9 9 1010 12 10 A 1011 13 11 B 1100 14 12 C 1101 15 13 D 1110 16 14 E 1111 17 15 二。进制转换 1。二进制与十进制数间的转换 （1）二进制转换为十进制 将每个二进制数按权展开后求和即可。请看例题： 把二进制数（101.101）2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=（5.625）10 （2）十进制转换为二进制 一般需要将十进制数的整数部分与小数部分分开处理。 整数部分计算方法：除2取余法 请看例题： 十进制数（53）10的二进制值为（110101）2 小数部分计算方法：乘2取整法，即每一步将十进制小数部分乘以2，所得积的小数点左边的数字（0或1）作为二进制表示法中的数字，第一次乘法所得的整数部分为最高位。请看例题： 将（0.5125）10转换成二进制。（0.5125）10=（0.101）2 2。 八进制、十六进制与十六进制间的转换 八进制、十六进制与十六进制之间的转换方法与二进制，同十进制之间的转换方法类似。例如： （73）8=7*81+3=（59）10 （0.56）8=5*8-1+6*8-2=(0.71875)10 (12A)16=1*162+2*161+A*160=(298)10 (0.3C8)16=3*16-1+12*16-2+8*16-3=(0.142578125)10 十进制整数→→→→→八进制 方法：“除8取余” 十进制整数→→→→→十六进制 方法：“除16取余” 例如： （171）10=（253）8 （2653）10=（A5D）16 十进制小数→→→→→八进制小数 方法：“乘8取整” 十进制小数→→→→→十六进制小数 方法：“乘16取整” 例如： （0。71875）10=（0.56）8 (0.142578125)10=(0.3C8)16 3. 非十进制数之间的转换 （1）二进制数与八进制数之间的转换 转换方法是：以小数点为界，分别向左右每三位二进制数合成一位八进制数，或每一位八进制数展成三位二进制数，不足三位者补0。例如： （423。45）8=（100 010 011.100 101）2 （1001001.1101）2=（001 001 001.110 100）2=（111.64）8 2。二进制与十六进制转换 转换方法：以小数点为界，分别向左右每四位二进制合成一位十六进制数，或每一位十六进制数展成四位二进制数，不足四位者补0。例如： （ABCD。EF）16=（1010 1011 1100 1101.1110 1111）2 （101101101001011.01101）2=（0101 1011 0100 1011.0110 1000）2=（5B4B。68）16

2、8、10、16进制转换方法 生活中其实很多地方的计数方法都多少有点不同进制的影子。 比如我们最常用的10进制，其实起源于人有10个指头。如果我们的祖先始终没有摆脱手脚不分的境况，我想我们现在一定是在使用20进制。 至于二进制……没有袜子称为0只袜子，有一只袜子称为1只袜子，但若有两袜子，则我们常说的是：1双袜子。 生活中还有：七进制，比如星期。十六进制，比如小时或“一打”，六十进制，比如分钟或角度…… 我们找到问号字符（?)的ASCII值是63，那么我们可以把它转换为八进值：77，然后用 '\77'来表示'?'。由于是八进制，所以本应写成 '\077'，但因为C,C++规定不允许使用斜杠加10进制数来表示字符，所以这里的0可以不写。 事实上我们很少在实际编程中非要用转义符加八进制数来表示一个字符，所以，6.2.4小节的内容，大家仅仅了解就行。 6.2.5 十六进制数转换成十进制数 2进制，用两个阿拉伯数字：0、1； 8进制，用八个阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7； 10进制，用十个阿拉伯数字：0到9； 16进制，用十六个阿拉伯数字……等等，阿拉伯人或说是印度人，只发明了10个数字啊。 16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。 十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方…… 所以，在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。 假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢。 用竖式计算： 2AF5换算成10进制: 第0位： 5 * 16^0 = 5 第1位： F * 16^1 = 240 第2位： A * 16^2 = 2560 第3位： 2 * 16^3 = 8192 ＋ ------------------------------------- 10997 直接计算就是： 5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997 (别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15) 现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。 假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四。你尽可以给他这么一个算式： 1234 = 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0 6.2.6 十六进制数的表达方法 如果不使用特殊的书写形式，16进制数也会和10进制相混。随便一个数：9876，就看不出它是16进制或10进制。 C，C++规定，16进制数必须以 0x开头。比如 0x1表示一个16进制数。而1则表示一个十进制。另外如：0xff,0xFF,0X102A,等等。其中的x也也不区分大小写。(注意：0x中的0是数字0，而不是字母O) 以下是一些用法示例： int a = 0x100F; int b = 0x70 + a; 至此，我们学完了所有进制：10进制，8进制，16进制数的表达方式。最后一点很重要，C/C++中，10进制数有正负之分，比如12表示正12，而-12表示负12，；但8进制和16进制只能用达无符号的正整数，如果你在代码中里：-078，或者写：-0xF2,C,C++并不把它当成一个负数。 6.2.7 十六进制数在转义符中的使用 转义符也可以接一个16进制数来表示一个字符。如在6.2.4小节中说的 '?' 字符，可以有以下表达方式： '?' //直接输入字符 '\77' //用八进制，此时可以省略开头的0 '\0x3F' //用十六进制 同样，这一小节只用于了解。除了空字符用八进制数 '\0' 表示以外，我们很少用后两种方法表示一个字符。 6.3 十进制数转换到二、八、十六进制数 6.3.1 10进制数转换为2进制数 给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢。 10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程： 把要转换的数，除以2，得到商和余数， 将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。 听起来有些糊涂。我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。 “把要转换的数，除以2，得到商和余数”。 那么： 要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。 （不要告诉我你不会计算6÷3。） “将商继续除以2,直到商为0……” 现在商是3，还不是0，所以继续除以2。 那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。 “将商继续除以2，直到商为0……” 现在商是1，还不是0，所以继续除以2。 那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1 （拿笔纸算一下，1÷2是不是商0余1!） “将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列” 好极。现在商已经是0。 我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了。 6转换成二进制，结果是110。 把上面的一段改成用表格来表示，则为： 被除数 计算过程 商 余数 6 6/2 3 0 3 3/2 1 1 1 1/2 0 1 （在计算机中，÷用 / 来表示） 如果是在考试时，我们要画这样表还是有点费时间，所更常见的换算过程是使用下图的连除： （图：1） 请大家对照图，表，及文字说明，并且自已拿笔计算一遍如何将6转换为二进制数。 说了半天，我们的转换结果对吗。二进制数110是6吗。你已经学会如何将二进制数转换成10进制数了，所以请现在就计算一下110换成10进制是否就是6。 6.3.2 10进制数转换为8、16进制数 非常开心，10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成8。 来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。 用表格表示： 被除数 计算过程 商 余数 120 120/8 15 0 15 15/8 1 7 1 1/8 0 1 120转换为8进制，结果为：170。 非常非常开心，10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成16。 同样是120，转换成16进制则为： 被除数 计算过程 商 余数 120 120/16 7 8 7 7/16 0 7 120转换为16进制，结果为：78。 请拿笔纸，采用（图：1）的形式，演算上面两个表的过程。 6.4 二、十六进制数互相转换 二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。 我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。 首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢。 你可能还要这样计算：1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。 然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为23 ＝ 8，然后依次是 22 ＝ 4，21＝2， 20 ＝ 1。 记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。 下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分） 仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值 1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C 1011 = 8 + 4 + 0 + 1 = 11 B 1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A 1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 10 9 .... 0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1 0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0 二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。 如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)： 1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011 F D ， A 5 ， 9 B 反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢。 先转换F： 看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢。应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。 接着转换 D： 看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢。应该是：8 + 2 + 1,即：1011。 所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1011 由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。 比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数: 被除数 计算过程 商 余数 1234 1234/16 77 2 77 77/16 4 13 (D) 4 4/16 0 4 结果16进制为： 0x4D2 然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1011 0010。 其中对映关系为： 0100 -- 4 1011 -- D 0010 -- 2 同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。 下面举例一个int类型的二进制数： 01101101 11100101 10101111 00011011 我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B 6.5 原码、反码、补码 结束了各种进制的转换，我们来谈谈另一个话题：原码、反码、补码。 我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。 我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。 不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。 比如，假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为： 00000000 00000000 00000000 00000101 5转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节（32位），所以前面填了一堆0。 现在想知道，-5在计算机中如何表示。 在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。 什么叫补码呢。这得从原码，反码说起。 原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。 比如00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。 反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。 取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0; 0变1） 比如：将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。 称：11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。 反码是相互的，所以也可称： 11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。 补码：反码加1称为补码。 也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。 比如：00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是：11111111 11111111 11111111 11111010。 那么，补码为： 11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011 所以，-5 在计算机中表达为：11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制：0xFFFFFFFB。 再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。 假设这也是一个int类型，那么： 1、先取1的原码：00000000 00000000 00000000 00000001 2、得反码： 11111111 11111111 11111111 11111110 3、得补码： 11111111 11111111 11111111 11111111 可见，－1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为：0xFFFFFF。 一切都是纸上说的……说－1在计算机里表达为0xFFFFFF，我能不能亲眼看一看呢。当然可以。利用C++ Builder的调试功能，我们可以看到每个变量的16进制值。