简述RSA算法中密钥的产生，数据加密和解密的过程，并简单说明RSA算法安全性的原理。

RSA方法的工作原理如下：
1) 任意选取两个不同的大质数p和q，计算乘积r=p*q；
2) 任意选取一个大整数e，e与(p-1)*(q-1)互质，整数e用做加密密钥。注意：e的选取是很容易的，例如，所有大于p和q的质数都可用。
3) 确定解密密钥d：
d * e = 1 mod（p - 1）*（q - 1）
根据e、p和q可以容易地计算出d。
4) 公开整数r和e，但是不公开d；
5) 将明文P (假设P是一个小于r的整数)加密为密文C，计算方法为：
C = Pe mod r (e为幂次方)
6) 将密文C解密为明文P，计算方法为：
P = Cd mod r (d为幂次方)
然而只根据r和e（不是p和q）要计算出d是不可能的。因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d)才可对密文解密。

例：选取p=3, q=5,试计算出d和e分别是多少?假定明文为整数13,请给出密文数字.
解:如果选取p=3, q=5，则r=15，（p-1）*（q-1）=8。选取e=11（大于p和q的质数），通过d * 11 = 1 mod 8， 计算出d =3。
假定明文为整数13。则密文C为 (e为幂次方)
C = Pe mod r = 1792160394037 mod 15 = 7
复原明文P为： (d为幂次方)
P = Cd mod r = 343 mod 15 = 13

RSA算法的数学原理

RSA算法的数学原理:
先来找出三个数, p, q, r,

其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数。

p, q, r 这三个数便是 private key。接著, 找出m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)..... 这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了..... 再来, 计算 n = pq....... m, n 这两个数便是 public key。

编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n.... 如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t), 则每一位数均小於 n, 然后分段编码...... 接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), b 就是编码后的资料...... 解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq), 於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :) 如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b...... 他如果要解码的话, 必须想办法得到 r...... 所以, 他必须先对 n 作质因数分解......... 要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q, 使第三者作因数分解时发生困难......... <定理> 若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 则 c == a mod pq 证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下: m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m (换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m) 运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........ <证明> 因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数 因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 (x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z), 所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq 1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq 2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q => q | c - a 因 p | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p => p | c - a 所以, pq | c - a => c == a mod pq 3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上 4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 则 pq | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq => pq | c - a => c == a mod pq Q.E.D. 这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq).... 但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....