1. 信息熵
信息熵 (information entropy) 是度量样本集合纯度最常用的一种指标。假定当前样本集合 D 中第k 类样本所占的比例为 pk(k=1,2,…|y|)，则 D 的信息熵定义为：
Ent(D) 的值越小，则 D 的纯度越高
2. 信息增益
假定离散特征 F 有多个可能的取值：{x1,x2,…,xv} ，则对特征的每个离散值，均可计算出取值为 xv 的样本集合 Dv 的信息熵。再考虑到不同的特征值其包含的样本个数不同，给予离散特征值赋予权重 Dv/D，即样本数越多的特征值的影响越大。从而可以计算出用特征 F 对样本集 D 进行划分所获得的“信息增益” (infomation gain)
- 例子：
如下是截取自 德国信用卡数据集 (adult_income) 的部分数据，将income标记为 0/1
| 其他特征 | workclass | income | label |
| … | Private | <=50K | 1 |
| … | Private | <=50K | 1 |
| … | Private | >50K | 0 |
| … | ? | <=50K | 1 |
| … | Private | <=50K | 1 |
| … | ? | >50K | 0 |
| … | Self-emp-not-inc | <=50K | 1 |
| … | Private | <=50K | 1 |
| … | Private | >50K | 0 |
| … | ? | <=50K | 1 |
| … | Self-emp-not-inc | >50K | 0 |
| … | Self-emp-not-inc | <=50K | 1 |
本数据集中，类别数为 2 , 其中正例样本占比: 812, 负例样本占比: 412. 则初始时包含所有样本，则信息熵为：
接下来选择 workclass 特征计算信息增益：
其中 Private 特征值的样本数为 6，其中标签为 0 的占比为26 ，标签为 1 的占比为46. ? 特征值的样本数为 3，其中标签为 0 的占比为 13，标签为 1 的占比为 23. Self-emp-not-inc 特征值的样本数为 3，其中标签为 0 的占比为 13，标签为 1 的占比为 23. 则，各个特征值对应的信息熵为：
其信息增益为：
用处：
特征分箱、决策树划分
3. WOE
WOE (Weight of Evidence) 描述的是变量与目标之间的关系。在变量与目标之间存在如下关系：
ln(P(Y=1|Xj)P(Y=0|Xj))=ln(P(Y=1)P(Y=0))+ln(f(Xj|Y=1)f(Xj|Y=0)) (由贝叶斯公式即可推出。)
上式等式右边第一项为常量，是样本的先验分布的对数几率，第二项即为WOE，即 ln(f(Xj|Y=1)f(Xj|Y=0))，其中 f(Xi|Y) 为条件概率密度函数或离散型变量的概率分布
WOE 一般用于风控模型（逻辑回归/评分卡）建模的编码阶段，在此场景下，变量Xj 包含M个离散值，则该变量的 WOE:
3.1. WOE 编码在评分卡中的使用
3.1.1. 逻辑回归角度
- 说回线性回归 (Linear regression)
给定数据集 D=(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym) “线性回归” 试图学得一个线性模型尽可能准确地预测出目标 y，即：
f(xi)=wxi+b，使得 f(xi)≅yi
- 对数线性回归 (Log-linear regression)
可否令模型预测值逼近 y 的衍生物呢？譬如，假设 y 不是在常数尺度上变化，而是在指数尺度上变化，即：
ln(y)=wxi+b
这就是“对数线性回归”，它实际上是在试图让 ewxi+b 逼近 y. 虽然形式上仍然是线性回归，但实质上已经是在求取输入空间到输出空间的非线性函数映射，如下图所示：
- 广义线性模型 (Generalized linear model)
更一般地，考虑单调可微函数 g(⋅), 令：y=g−1(wxi+b), 这样得到的模型称为“广义线性模型”，其中的函数 g(⋅) 称为“联系函数” (link function)。显然，对数线性回归是广义线性模型在 g(⋅)=ln(⋅) 时的特例。
- 对数几率回归 (Logistic regression / logit regression)
上述模型的输出均是实数，若要应用于分类任务该如何？参考对数线性回归，只需找一个单调可微函数将分类任务的y 与线性回归的预测值联系起来。
考虑二分类任务，其输出标记 y∈{0,1}，于是，我们需要将线性回归的输出实值 z 转换为 0/1 的值。对数几率函数(Logistic function) 正是这样一个常用函数：
y=1/(1+e−z)
它将z 值转化为一个在0和1之间的值。代入广义线性回归模型中：
y=1/(1+e−(wxi+b))
视 y 为输出标记为正例的概率，则 1−y 是其反例的概率值，二者的比值：y/(1−y) 称为 “几率” (odds)，反映了样本 x 作为正例的相对可能性。对几率取对数则得到了对数几率 (log odds，亦称 logit)：
ln(y/(1−y))=wxi+b
从上式可以看出，这实际上是在用线性回归模型的结果去逼近真实值的对数几率，因此，对应的模型称为“对数几率回归” (logistic regression, 亦称 logit regression). 虽然名字仍然是“回归”，但实际上却是一种分类学习方法。
推广到多元的情形下，假设数据集 D 由 d 个特征组成，此时“多元线性回归”可表示为：
3.1.2. 朴素贝叶斯角度
上式表明“对数几率等于先验对数几率与各特征的WOE值之和”。朴素贝叶斯假设各特征xj 之间相互独立，这个假设过于严格。为此，在各个特征前加入系数 wi：
当然这并不能完全拟合变量间的相关性。
3.1.3. 评分卡
想想我们如何构建一个方法去评估一个人的信用呢？我们可能会从多个角度去考虑：年龄、教育程度、工作性质等。然后根据每个维度的信息“综合考虑” (1)，同时不希望每个特征微小的变化不至于对分数产生很大的影响 (2)；并且希望得到的分数变化能定性地衡量其违约的概率 (3)。
根据条件 (1) 我们给每个维度的信息一个权重，并求和/求积，从简单考虑，线性回归即可根据各维度地分数组合为一个分数值，即 
根据条件 (2)，可以对每个维度进行分箱处理；
根据条件 (3)，可以假定一个变化的刻度，由于上一步用到了对数几率，则可假设当其可能违约的概率相比不违约的比值增加2倍时，其分数增加 PDO (Point to double the odds)：
S+PDO=A∗ln(2p/(1−p))+B
由此解出 A 和 B 的值，得到逻辑回归模型到评分卡的转换:
4. IV
IV值一般用于二分类中的变量筛选，用IV来衡量变量对好坏样本的区分能力。其公式为：
然而，为什么IV要如此定义，WOE不也能代表变量的预测能力么？
在介绍WOE后，通过其公式可以看到，变量 xj 的每个woe值与对数几率正相关，即woe越大，其概率值 p(y=1|x=xjm) 越大(m 代表离散变量 xj 的每个可能取值)。那么如何衡量整个变量 xj 的预测能力（重要性）呢？用变量的 WOE=sum(woei)是否可行？
从WOE的公式上很容易看出，其值有正有负，则相加之后无法对变量的预测值进行比较。这也启发我们需要找到一个像度量两点之间的距离类似的概念，能度量变量对好坏样本的区分度。
KL散度 (Kullback-Leibler divergence)，也称为相对熵 (relative entropy) ，是两个概率分布间差异的非对称性度量。在离散型变量下，其公式为：
,
其中 Q(x) 是近似分布，P(x) 是我们想要用 Q(x) 匹配的真实分布。
如果我们把 P(x) 看作坏样本在变量 xj 上的分布，把 Q(x) 看作是好样本在变量 xj 上的分布，通过KL散度，即可度量在变量 xj 上的好坏样本的分布差异，也即变量区分好坏样本的能力。
然而KL散度是一个非对称性的度量，即 KL(P||Q) ≠ KL(Q||P)。作为一个度量，我们希望分布 Q 到分布 P 的“距离”和分布 P 到分布 Q 的“距离”应该一样。可以证明KL散度：
在固定概率分布 P(x)（或 Q(x)）的情况下，对于任意的概率分布 Q(x)（或P(x)），都有 KL(P(x)||Q(x))≥0，而且只有当 P(x)=Q(x) 时才等于零。
由于KL的非负性，那么 KL(P||Q)+KL(Q||P) 不就是一种具有对称性的分布 P 到分布 Q 的“距离”度量了嘛！我们试着写出度量变量 xj 好坏样本差异的公式：
整理一下，得到：
上述既是IV的表达式。
5. lift
lift 值代表使用模型时的效果较不使用模型时的效果的提升值。则涉及到两个值，“使用模型时的效果”——T，以及 “不使用模型时的效果”——R.
lift=T / R
在二分类场景中，将模型对训练集/验证集样本 D 预测的概率值按从大到小的顺序排列：
选取数据的 N 个切分点，在第i个切分点 Ni 处，计算模型预测对的累计正例值 T=sum(Ti)，即得到“使用模型时的效果”；再除以“不使用模型时的效果”，即先验正例值 R=len(D|y=1)∗Ni 即可得到lift曲线：
在评分卡应用场景中，常常使用评分分段代替概率，则可使用分段累计坏样本除以总的坏样本即可得到各区间lift值，如下表：
参考：
周志华. 机器学习[M]. 2016年1月第1版. 清华大学出版社, 2018.
KIM LARSEN. Data Exploration with Weight of Evidence and Information Value in R[EB/OL]. [2022-06-25]. https://multithreaded.stitchfix.com/blog/2015/08/13/weight-of-evidence/.
https://www.geeksforgeeks.org/understanding-gain-chart-and-lift-chart/
Kullback, S. and Leibler, R.A., 1951. On information and sufficiency. The annals of mathematical statistics, 22(1), pp.79-86.
