每日一练RSA (20 分)

RSA：

RSA公开密钥密码体制是一种使用不同的加密密钥与解密密钥，在密钥长度足够长的时候“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥，简称公钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥，简称私钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。

信息具有时效性，假如你获得了某同桌所接收到的密文信息，辛苦一周破译出来上面的信息是“今晚机房钥匙会插在门上，想去刷题可以自己随便去。”，这个信息对于你来说没有价值，因为机房钥匙可能早就不在门上了。

公开密钥密码体制中虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但密钥长度足够长的时候却不能在有意义的时间内根据PK计算出SK。

基于这种理论，1978年出现了著名的RSA算法，它通常是先生成一对RSA密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册。外界任何一个人都可以使用该公钥对信息加密，该密文只有拥有保密密钥的人才可以有能力短 时间内解密。为提高保密强度，RSA密钥一般至少为500位长，一般推荐使用1024位。这就使加密的计算量很大。为减少计算量，在传送信息时，常采用传统加密方法与公开密钥加密方法相结合的方式。

RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近三十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。1983年麻省理工学院在美国为RSA算法申请了专利。

RSA具体流程如下（mod表示整除求余，相当于C/C++语言当中的%）:

STEPS

1.随机选择两个不相等的质数p和q。

2.计算n=p∗q。

3.选择一个整数e，使得e和(p−1)(q−1)互质

4.找出正整数d，使得(e∗d)mod((p−1)∗(q−1))=1

5.公开(e,n)作为RSA公钥。

6.保留(d,n)作为RSA私钥。

将明文m看成是一个正整数，任何人知道公钥后可以按下面的公式进行加密得到密文c：　c=me mod n

拥有保密密钥的人按下面的公式进行解密：　m=cd mod n

举例说明：取两个素数p=7, q=13，再取e=5，可以计算出一对密钥：p=7, q=13, n=91, e=5,d=29, (n,e)=(91,5), (n,d)=(91,29)

以数据加密为例：

A向B发送机密数据信息m=15，并已知B的公钥(n,e)=(91,5)，于是可计算出密文：  　

c=me mod n=71

A将c发送至B, B利用私钥(n,d)=(91,29)对c进行解密：

m=cd mod n=15

显然，上述关于RSA的描述大部分来源于网络...

真正的问题来了：不懂RSA原理和使用条件的彼得同学对外发布了他的公钥(e,n)=(10931, 17113)，小白截获了彼得收到的N个密文信息，请求你帮助其破译出明文。

输入格式:

第一行一个整数N，表示小白截获的密文数量，接下来每行一个正整数m表示一个密文信息。

输出格式:

输出N行，每行一个整数，表示对应的明文信息。

输入样例:

1. 1
2. 1
3. 复制代码

输出样例:

1. 1
2. 复制代码

思路

首先枚举小于n的质数，放进数组p中。再从p中取出两个数字满足互不相等且p*q==N。得到p，q。

（在求p，q的方面，假如去枚举n的因数再检查是否是质数，时间复杂度很大很大，这道题就会超时。）

接着求出x，再根据e * d % x == 1，枚举求出d。

如果直接使用pow会溢出，所以得使用快速幂。

代码如下：

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 17113, E = 10931;
typedef long long LL;
int P, Q, D;
vector<int> p;
bool is_prime(int x)  // 判定质数
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}
void init()
{
    for(int i = 2; i < N; i++) {
        if(is_prime(i)) {
            p.push_back(i);//枚举所有小于N的质数，并且放进p里。
        }
    }
    for(int i = 0; i < p.size(); i++) {
        for(int j = i + 1; j < p.size(); j++) {
            if(p[i] * p[j] == N) {
                P = p[i], Q = p[j];//得到P，Q的值
                break ;
            }
        }
    }
    int x = (P - 1) * (Q - 1);
    for(int d = 1; ; d++) {
        if(E * d % x == 1) {//枚举得到私钥D的值
            D = d;
            break;
        }
    }
}
int quick_power(int a, int k, int p)  // 求a^k mod p 快速幂
{
    int res = 1 % p;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    init();
    int t, x;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> x;
        cout << quick_power(x, D, N) << endl;//得到明文。
    }
    return 0;
}