简介：本文有三部分，第一部分是我对认知论的个人理解，及其与第二三部分关联的描述；第二部分是以第一部分和第三部分为基础，来进行更详细的探讨；第三部分是利用第一部分，给出的一些更加具体地，更加可以成为某种错误的证明，猜想，以及方法，这一部分会使得我们的探讨，不至于成为泛泛而谈。
我认为我们对事物认识是基于事物之间的关系进行的，事物的实在本身就是事物与其他所有事物之间关系的集合。对于数的范畴，我认为排序关系是数之间的基本关系之一，因此提出了关于集合论，序理论的一些证明和尚未证明的猜想。
对于物理量的认知，我认为我们仍然在很大程度上是用序关系来描述而不能准确的确认某个物理量是多少。如果我们能够完全准确地认知物理量，那么恐怕就不会出现牛顿力学了，因为当我们的计算能力足够强大时，我们一开始就可以提出相对论解释，其相对于牛顿力学更加精确。更加可能成为现实情况的，如果我们一开始就能准确测量电荷量并确认其是有理数，那么我们可以很早就提出电子相关的模型。那么，在我们的测量不可避免地存在误差的情况下，我们如何判断一个物理量是否为有理数？为了回答这个问题，我提出了一种判断一个样本（样本容量为1，比如）是否是从连续型分布中取得的假设检验法。
进一步的，当我们掌握的物理量很多的时候，某些物理量与特殊的数学常量（比如整数，pi，e）接近时，我们可以以此出发，来倒推背后的因果关系。以此出发，我对统计中的信息量做了一点新的讨论，希望以此来对利用整体论的方法推进科学进步的方法和做一定的探讨。
第一部分：
在高中的时候，我接触到了《仙剑奇侠传四》这款游戏，其中的剧情，给了我很深的感触。其中的每一个人，都没有错，却将故事引入了一个悲剧的结局。每一个人，都是在根据自己对这个世界的片面理解行事。琼华派认为妖就是恶，修仙可以牺牲妖，这有错么？玄霄对天河的感情是真实的么？对于实在的拷问，会让我们进入深深的不安之中。害怕无法认识真实的世界；害怕自己想要做好人，却做了坏事。
柏拉图用洞中人指出，我们所看到的，仅仅是某些不真实的影像。罗素用感觉材料这个概念，进行了更加详细的描述，他认为人只能通过感觉材料，来了解这个真实的世界。对于存在的认识，我们还可以用特修斯之船来加以拷问。这些问题，更加关心我们怎么能够认识到事物的抽象实在，但是我们不妨换个角度想想，实在本身有那么重要么？实在这个概念本身是存在的么？
从实践的角度来说，有一句经典的名言：不管黑猫白猫，只要能够抓住老鼠，就是好猫。我们不妨用这个观点，来拷问特修斯之船的问题。对于特修斯之船的问题，我们不妨问到，我们在考察这个问题的时候，是从何种角度出发去问的？是税务官问的这个问题，还是说考古学家问的这个问题？对于税务官而言，只要船的主人没有变化，恐怕他不会认同我们关于这条船是不同的船的看法。而对于考古学家而言，他更关注这条船上木材所承载的历史，因此他必然不会承认这是一条相同的船。我们发现，在我们认识这个问题的时候，不同的出发点会引出不同的答案，这与罗素所说的，我们从不同的角度观察，会有不同的感觉材料的观点是相0.\mathop 9\limits^ \bullet似的。
更进一步的，对于0.9的循环等于1这个问题，我们会认为等于1，这从一般的数学上，当然是成立的；但是从文字上，这又是显然不成立的。因此我们不妨把感觉材料这个观念，从单纯的人的感觉域，推广到更加泛化的物质域。也就是说，不仅仅人认识事物，是通过事物的某些“表象”来进行的，对于我们认为没有认知能力的物质而言，也都是通过某些“表象”来对其他事物进行认知的。两件事物只要某些“表象”相同，那么其就可以在对应的领域进行等价替换。这种定理，在科学领域无处不在，我们有戴维南单口定理，我们有代数替换基本定理，以及各种其他领域的各种关于等价替换的定理。
如果我们承认这个观点，那么有一个问题，值得我们讨论。那就是“表象”是否本身是一种真实的存在，如果“表象”也是一种“实在”，那么会不会有关于“表象”的“表象”？这样就会进入一个循环论述的过程，我们可以提供一个较为惊悚的观点来打破这种循环：“表象”即“实在”，“实在”即是其所有“表象”的集合。（这一部分的探讨，与后面的集合论相关）
我们不妨再向前走一步，请问什么是“表象”？我们会发现，“表象”的概念，总会伴随着其他“实在”的出现。关于光的感觉材料，总会伴随着光的接收器的实在；关于力的感觉材料，总会伴随着力的接收器的实在；关于税务的表象，总是伴随着税务官的实在。既然如此，我们为什么不用奥卡姆剃刀，剔除掉“表象”这个概念，直接用实体之间的关系来表述这个问题呢？也就是说：“实在”即是其与其他所有“实在”的关系的集合。（这一部分与后面的排序猜想及统计相关，我们事实上不可能完全确定一个实数，我们只能得到这个实数与其他实数之间的大小关系。基于此可以提出关于排序猜想，更进一步的提出统计上的方法。）
第二部分：
在集合论中，外延公理阐述了如下的事实：如果两个集合的外延完全相同，那么这两个集合相等（外延公理）。或者说，集合的外延完全定义了集合。那么相应的，集合的内涵是否能够完全定义集合呢？这个结论是肯定的，我们可以在ZFC体系下，证明“手性外延定理”的正确性。从我们的实践中，我们也是这么做的，很少有人会列举“三角形”这个集合下所有的元素（通过外延来定义集合），而是通过定义三角形是一种有三条边的平面几何图形（通过内涵来定义集合）。
进一步思考会引发我们关于符号体系与数学体系内在含义之间的关系的讨论。在ZFC集合论中，“属于”这个概念是一个底层的概念，其并没有经过相应的定义。既然如此，那么将对属于的记号进行倒置（倒置为）不会改变其描述的数学体系本身的内在含义；正如我们规定坐标轴的右边为正数，左边为负数一样，我们完全可以做出相反的规定，这并不会影响我们的记号体系对其实质的描述。我们进一步的将这种倒置做完，会得到一个“手性”ZFC公理体系，并且我们可以轻易地证明：
“手性”ZFC公理体系与ZFC公理体系不兼容。
请注意到，我们刚刚已经证明过，
“手性外延公理”与ZFC公理体系兼容。
那么我们是否可以说，外延公理的“公理性”相较于ZFC体系的其他公理更强。如果我们认为我们的符号体系，只是描述某种空间的坐标系，我们会发现，以逻辑系统中，不加证明而正确的命题来定义公理，显然是不太合理的；因为某些显而易见的规定，也是符合这个条件的。不论对于哪一个数轴，我们都有A大于B，B大于C，则A大于C成立；相反的，坐标轴的0点的位置，坐标轴的正方向则是一种规定，或者说，假设。如果我们将连续统假设称呼为假设是因为ZFC+CH和ZFC+CH’都能够成立。那么同样的，外延公理+ZFC和外延公理+ZFC’也都是能够成立的，我们为什么不能认为ZFC本身就是由外延公理和其他几条规定所构成呢？（更严谨一点，ZFC本身是由某几条公理（至少包含外延公理）和其他几条规定所构成）
由此，我们可以简明的对于不加证明即正确的命题，我们可以将其区分为两种：
-
在多个仅仅记号不同，实质相同的记号体系中，均能够成立的命题为公理。
-
在多个仅仅记号不同，实质相同的记号体系中，不能够都成立的命题为公理。
在上面的陈述中，我们可以稍微多做一些停留。我认为外延公理的“公理性”相较于ZFC体系的其他公理更强的原因在于外延公理是处理一元关系的公理，而其他公理则更多的是处理二元关系的公理。在任何一个逻辑体系中，一元关系都会服从代数替换公理，这是我们对于“=”这个符号的基本认知。但是，当我们把逻辑体系从一元关系扩展到建立事物之间的相互联系（最简单的相互联系就是二元关系），我们会发现这种操作需要小心进行。在集合论中，最基本的二元关系是属于这个关系；在实数中以及物理实践（统计学）中，我认为最基本的二元关系是排序关系。在实数领域，我们本来就是用戴德金分割构造的实数，对于的问题，我们也很容易的可以通过没有一个实数A使得来证明。在物理实践中，我们在测量一个数值的时候，总是把这个数值进行各种映射，使得其大于某个实数，小于某个实数，而不是无法获得这个值的大小（这一点对自然科学发展的影响非常重要，我们将在稍后讨论）。那么，自然而然的就会从物理实践中引发一个问题：是否我们在实数上建立的普通全序关系，是最基本的全序关系？是否任何一个全序关系，都是实数上建立的普通全序关系的一个子集？戴德金分割是否能够在所有与实数等势的集合上建立？即：
猜想：对于任意一个在与实数集合等势的集合上建立的严格全序关系，都可以保序映射到实数集的一个子集上。
这个问题在有理数集合上的相似命题，我已经证明了。可以看到我们对于有理数集合上的全序关系，就是一个最基本的全序关系（或许这就是我们曾经判断“所有数都是有理数”的原因）。如果每个实数集合上的全序，都是由有理数排序+戴德金分割构成，那么上述的命题应该是成立的。一个可能的证明思路是根据我们的符号体系本身的可序性，来推导我们对集合的排序能力不会超过有序集合，因此超过有序集合的排序，都必须借助更低势集合的全序来进行。
以上是抽象的思维部分，接下来我们讨论实践领域的问题。我们关于事物的认知，特别是关于物理量的认知模式（即基于排序确定具体参数的取值范围）也会影响我们的科学发展路径。如果我们可以无限精度地认识到一个物理量的数值，那么就不会出现牛顿力学，因为牛顿力学只是低速情况下的近似。如果我们的数学能力足够强，我们一开始就可以给出更加精确的相对论的描述。如果采样的样本是无穷精度的，甚至我们能够通过单一的样本，进行假设检验。第三部分的统计案例，即可作为一个例子；更多的，我们如何检验一个物理常数，是随机的，无规律的数，还是有其内在的构造规律？从这一点出发，我们至少可以思考两个问题：1、对于物理常数而言，什么是巧合？我们能不能从巧合出发得到一些猜想，并进一步验证？2、我们能不能衡量函数，公式等的信息量？我们为什么会觉得欧拉公式会很美？我们能否通过推广信息量这个概念，建立起整体论的科学研究方法？
我们经常性地会看到有人提问，为什么光速接近于一个整数，为什么有些常数接近于一个整数，这是不是巧合。大部分时候，我们都会直接回答，这并不巧合，却又不给出关于巧合程度的衡量与计算。有的常数，其接近于整数本身就是有其逻辑的，包括计算上的，包括物理上的（比如电荷比，比如相对原子质量），这个时候我们就不会说这个常量接近于整数是巧合了。如果仅仅因为我们不知道背后的逻辑，就否认某些物理常数“巧合”地接近某个数，这种做法恐怕不妥，比如说下面的巧合恐怕很多人就不能知道背后的逻辑了。当我们手上的测量值越来越多，我们解释常数的能力，可能落后于我们的测量能力，如果某些参数确实符合特定构造规律，我们为什么不从这方面入手进行研究？。比如说布丰投针实验和圆周率的关系，比如说宇宙常数和圆周率的关系。如果我们的测量精度足够高，我们是可以先测量，再猜想，再解释（即整体论的方法）的；这与我们以往的先解释，再猜想，再测量证明（还原论的方法），是两个路径。在我们的测量能力与计算能力越来越强大的今天，这条路径恐怕并非完全不可行。 这就使得我们有必要用具体的数字，来对巧合这个概念进行衡量了。
信息量的概念对于统计的规范化也很重要，我们选择统计模型，统计工具的过程，并不是完全不损失样本的信息量的。我曾经碰到过一个样本，这个样本中，90%的数据都超过了我仪器的量程（10nN），只有10%的数据被测量了出来（一般在0-1nN之间）。为了否认这个样本是从正态分布中取得的，我根据样本的特性，选择了样本落在0-1nN之间的频率作为检验项，并成功否定了该样本为正态分布。如果我们可以先看到样本，再去选择模型，选择检验方式，为什么我们不能把上面0-1nN的区间，替换成为包含所有实测得到的数据的很小区间的并呢?比如我们可以取：作为检验区间，那么一定能够否定掉原假设。我们提供的假设，检验方法，本身也具备信息量，也应该被信息量这个概念所进行规范，我们所进行的检验得到的结果，应该是：
[(样本+原假设)的信息量-(原假设)的信息量]-
[(样本+备择假设)的信息量-(备择假设)的信息量]
我们还可以看到，对于数列的规律的题目，有很多人在学习过拉格朗日插值法之后，就认为填上任何一个数值，都可以用公式来进行拟合，并对某些不合理的题目进行了批评，对于偏门的题目，这当然是正确的。但是对于等差数列，等比数列，我们难道能够否认其规律性？为什么我们认为:
1,2,4,8,16,_,64,128
1,2,3,4,5,_,7,8
这两个数列之间的数字就应该是32和6？我们如何衡量规律性这个概念？为什么我们会觉得很美？美和信息量的关联是什么？
科学发展到现在，最为困难的事情，恐怕已经从获取数据变为了数据与知识之间的交互。在以往，我们可以在初中或是高中，便学习完我们所需要的所有知识。但是在今天，即便一个偏微分方程领域，恐怕不同方向的学者之间也难以进行良好的交流。还原论的路径，可能已经碰到了现实的瓶颈；整体论的方法框架，仍旧需要尝试，搭建和完善，希望我的这篇文章，能够如过去的“重的东西下降快”，“所有的数都是有理数”一样，成为一些“有意义的错误”。
第三部分：
关于集合论的兼容性的证明：
对于ZFC公理化集合论中的任意一条论述A，我们可以将其中的倒置为，得到一条新的手性公理A’，如:
外延公理：
手性（外延公理）’：
那么有如下结论：
-
ZFC体系可以推导出手性(外延公理)’ ZFC体系与手性(外延公理)’兼容。
-
ZFC体系与手性(ZFC)’体系不兼容。
结论a的证明：利用无序对公理进行反证即可，(外延公理)’的反例为：存在，且有。若中没有空集，取，可以得到。若若中有空集，无妨设为空集，则取，可以得到。因此原命题得证。
结论b的证明：只需要取(ZFC)’中对于空集定理：
的“手性空集定理”：
来进行不兼容的推导即可。
对于非空集合P，利用无序对公理：
对于空集，利用幂集公理：
证明完毕。
关于排序理论的证明及猜想：
结论：对于任意一个可序集合上建立的严格全序关系，都可以保序映射到有理数集的一个子集上。
证明：无妨设该可序集合的一个排列为：。我们将映射到上；对于,如果其大于，则将其映射到上，否则，将其映射到上；同理我们可以用来对应（为了保证唯一性，我们不妨选取使得排序关系不改变的最小值来进行映射）。由此，我们可以完成这样一个映射。
猜想：对于任意一个在与实数集合等势的集合上建立的严格全序关系，都可以保序映射到实数集的一个子集上。
在只有一个样本的情况下，否认其是从连续型随机分布中取得的方法：
利用假设检验法否定是从位于（0，1）之间的均匀分布取得的方法。
注意到，我们所选取的变量涵盖了一个有理数，且这个有理数的分母极小。因此我们不妨将备择假设设为，该样本是两个较小的整数相除得到的。
我们考虑到，如果是有理数构造得到的样本，那么无论采样精度如何，落入该区间的所有有理数的分母的最小值也不会变动。但是，如果是均匀分布的样本，当采样精度提高时，落入样本区间的所有有理数的分母的最小值将会变大。用公式化的语言来描述：
对于任意的，设，则定义
定义其中，
当时，若是从（0，1）之间的均匀分布取得，可以得到呈现如下图所示的分布：
因此，我们可以取拒绝域为其中
在本例中，我们根据程序计算得到的临界值k在200-300之间，而我们根据样本得到的,这显然远小于k，因此我们可以拒绝原假设：是从位于（0，1）之间的均匀分布取得的
图片说明：1.数据由程序进行1000次实验得到2.为方便绘图，将除以100后取整数部分作为横轴。
