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Motivation
在之前的机器学习基石课程中，我们就接触过Perceptron模型了，例如PLA算法。Perceptron就是在矩gt(x)外面加上一个sign函数，取值为{-1,+1}。现在，如果把许多perceptrons线性组合起来，得到的模型G就如下图所示：
将左边的输入(x0,x1,x2,⋯,xd)与T个不同的权重(w1,w2,⋯,wT)相乘（每个wi是d+1维的），得到T个不同的perceptrons为(g1,g2,⋯,gT)。最后，每个gt给予不同的权重(α1,α2,⋯,αT)，线性组合得到G。G也是一个perceptron模型。
从结构上来说，上面这个模型包含了两层的权重，分别是wt和α。同时也包含了两层的sign函数，分别是gt和G。那么这样一个由许多感知机linear aggregation的模型能实现什么样的boundary呢？
举个简单的例子，如下图所示，g1和g2分别是平面上两个perceptrons。其中，红色表示-1，蓝色表示+1。这两个perceptrons线性组合可能得到下图右侧的模型，这表示的是g1和g2进行与（AND）的操作，蓝色区域表示+1。
如何通过感知机模型来实现上述的AND(g1,g2)逻辑操作呢？一种方法是令第二层中的α0=−1,α1=+1,α2=+1。这样，G(x)就可表示为：
这个例子说明了一些简单的线性边界，如上面的g1和g2，在经过一层感知机模型，经线性组合后，可以得到一些非线性的复杂边界（AND运算）G(x)。
除此之外，或（OR）运算和非（NOT）运算都可以由感知机建立相应的模型，非常简单。
所以说，linear aggregation of perceptrons实际上是非常powerful的模型同时也是非常complicated模型。再看下面一个例子，如果二维平面上有个圆形区域，圆内表示+1，圆外表示-1。这样复杂的圆形边界是没有办法使用单一perceptron来解决的。如果使用8个perceptrons，用刚才的方法线性组合起来，能够得到一个很接近圆形的边界（八边形）。如果使用16个perceptrons，那么得到的边界更接近圆形（十六边形）。因此，使用的perceptrons越多，就能得到各种任意的convex set，即凸多边形边界。之前我们在机器学习基石中介绍过，convex set的VC Dimension趋向于无穷大（2的N次方）。这表示只要perceptrons够多，我们能得到任意可能的情况，可能的模型。但是，这样的坏处是模型复杂度可能会变得很大，从而造成过拟合（overfitting）。
总的来说，足够数目的perceptrons线性组合能够得到比较平滑的边界和稳定的模型，这也是aggregation的特点之一。
但是，也有单层perceptrons线性组合做不到的事情。例如刚才我们将的AND、OR、NOT三种逻辑运算都可以由单层perceptrons做到，而如果是异或（XOR）操作，就没有办法只用单层perceptrons实现。这是因为XOR得到的是非线性可分的区域，如下图所示，没有办法由g1和g2线性组合实现。所以说linear aggregation of perceptrons模型的复杂度还是有限制的。
那么，为了实现XOR操作，可以使用多层perceptrons，也就是说一次transform不行，我们就用多层的transform，这其实就是Basic Neural Network的基本原型。下面我们就尝试使用两层perceptrons来实现XOR的操作。
首先，根据布尔运算，异或XOR操作可以拆分成：
顺便提一下，这里所说的感知机模型实际上就是在模仿人类的神经元模型（这就是Neural Network名称的由来）。感知机模型每个节点的输入就对应神经元的树突dendrite，感知机每个节点的输出就对应神经元的轴突axon。
2 Neural Network Hypothesis
上一部分我们介绍的这种感知机模型其实就是Neural Network。输入部分经过一层一层的运算，相当于一层一层的transform，最后通过最后一层的权重，得到一个分数score。即在OUTPUT层，输出的就是一个线性模型。得到s后，下一步再进行处理。
我们之前已经介绍过三种线性模型：linear classification，linear regression，logistic regression。那么，对于OUTPUT层的分数s，根据具体问题，可以选择最合适的线性模型。如果是binary classification问题，可以选择linear classification模型；如果是linear regression问题，可以选择linear regression模型；如果是soft classification问题，则可以选择logistic regression模型。本节课接下来将以linear regression为例，选择squared error来进行衡量。
上面讲的是OUTPUT层，对于中间层，每个节点对应一个perceptron，都有一个transform运算。上文我们已经介绍过的transformation function是阶梯函数sign()。那除了sign()函数外，有没有其他的transformation function呢？
如果每个节点的transformation function都是线性运算（跟OUTPUT端一样），那么由每个节点的线性模型组合成的神经网络模型也必然是线性的。这跟直接使用一个线性模型在效果上并没有什么差异，模型能力不强，反而花费了更多不必要的力气。所以一般来说，中间节点不会选择线性模型。
如果每个节点的transformation function都是阶梯函数（即sign()函数）。这是一个非线性模型，但是由于阶梯函数是离散的，并不是处处可导，所以在优化计算时比较难处理。所以，一般也不选择阶梯函数作为transformation function。
既然线性函数和阶梯函数都不太适合作为transformation function，那么最常用的一种transformation function就是tanh(s)，其表达式如下：
tanh(s)函数是一个平滑函数，类似“s”型。当|s|比较大的时候，tanh(s)与阶梯函数相近；当|s|比较小的时候，tanh(s)与线性函数比较接近。从数学上来说，由于处处连续可导，便于最优化计算。而且形状上类似阶梯函数，具有非线性的性质，可以得到比较复杂强大的模型。
顺便提一下，tanh(x)函数与sigmoid函数存在下列关系：
那么，接下来我们就使用tanh函数作为神经网络中间层的transformation function，所有的数学推导也基于此。实际应用中，可以选择其它的transformation function，不同的transformation function，则有不同的推导过程。
下面我们将仔细来看看Neural Network Hypothesis的结构。如下图所示，该神经网络左边是输入层，中间两层是隐藏层，右边是输出层。整体上来说，我们设定输入层为第0层，然后往右分别是第一层、第二层，输出层即为第3层。
介绍完Neural Network Hypothesis的结构之后，我们来研究下这种算法结构到底有什么实际的物理意义。还是看上面的神经网络结构图，每一层输入到输出的运算过程，实际上都是一种transformation，而转换的关键在于每个权重值。每层网络利用输入x和权重w的乘积，在经过tanh函数，得到该层的输出，从左到右，一层一层地进行。其中，很明显，x和w的乘积越大，那么tanh(wx)就会越接近1，表明这种transformation效果越好。再想一下，w和x是两个向量，乘积越大，表明两个向量内积越大，越接近平行，则表明w和x有模式上的相似性。从而，更进一步说明了如果每一层的输入向量x和权重向量w具有模式上的相似性，比较接近平行，那么transformation的效果就比较好，就能得到表现良好的神经网络模型。也就是说，神经网络训练的核心就是pattern extraction，即从数据中找到数据本身蕴含的模式和规律。通过一层一层找到这些模式，找到与输入向量x最契合的权重向量w，最后再由G输出结果。
3 Neural Network Learning
神经网络中，这种从后往前的推导方法称为Backpropagation Algorithm，即我们常常听到的BP神经网络算法。它的算法流程如下所示：
上面采用的是SGD的方法，即每次迭代更新时只取一个点，这种做法一般不够稳定。所以通常会采用mini-batch的方法，即每次选取一些数据，例如N/10，来进行训练，最后求平均值更新权重w。这种做法的实际效果会比较好一些。
4 Optimization and Regularization
经过以上的分析和推导，我们知道神经网络优化的目标就是让Ein(w)最小化。本节课我们采用error measure是squared error，当然也可以采用其它的错误衡量方式，只要在推导上做稍稍修改就可以了，此处不再赘述。
下面我们将主要分析神经网络的优化问题。由于神经网络由输入层、多个隐藏层、输出层构成，结构是比较复杂的非线性模型，因此Ein(w)可能有许多局部最小值，是non-convex的，找到全局最小值（globalminimum）就会困难许多。而我们使用GD或SGD算法得到的很可能就是局部最小值（local minimum）。
下面从理论上看一下神经网络模型的VC Dimension。对于tanh这样的transfer function，其对应的整个模型的复杂度dvc=O(VD)。其中V是神经网络中神经元的个数（不包括bias点）,D表示所有权值的数量。所以，如果V足够大的时候，VC Dimension也会非常大，这样神经网络可以训练出非常复杂的模型。但同时也可能会造成过拟合overfitting。所以，神经网络中神经元的数量V不能太大。
为了防止神经网络过拟合，一个常用的方法就是使用regularization。之前我们就介绍过可以在error function中加入一个regularizer，例如熟悉的L2 regularizer Ω(w)：
除了weight-elimination regularizer之外，还有另外一个很有效的regularization的方法，就是Early Stopping。简而言之，就是神经网络训练的次数t不能太多。因为，t太大的时候，相当于给模型寻找最优值更多的可能性，模型更复杂，VC Dimension增大，可能会overfitting。而t不太大时，能有效减少VC Dimension，降低模型复杂度，从而起到regularization的效果。Ein和Etest随训练次数t的关系如下图右下角所示：
那么，如何选择最佳的训练次数t呢？可以使用validation进行验证选择。
5 Summary
