第2章
PDN阻抗设计基本原理
2.1 关心阻抗的原因
最终，如果提供给芯片的电压在规定的范围内，即它是一些具有AC波纹的平均值，那么这个PDN是可接受的。不幸的是，究竟这个电压能否保持在可接受的水平依靠的不仅是PDN设计，还有不同芯片在系统中的行为，即它们执行的是什么功能和它们拉出电流的频谱。
在电路板的某个位置上，当它运行在特别的代码部分时，被测量的电压是可接受的。可是，这不能保证运行在其他微码时同样会产生可接受的结果。在芯片焊盘上测量的电压比在印制板上的电压有更多的噪声。
这使得接受电源分配网络的测试变得困难。作为初步近似，电压噪声是被不同芯片拉出的电流谱产生的，其中它流过电源分配网络相互连接线的阻抗。
如果我们知道由芯片拉出的最差电流，例如，基于门的使用或者仿真，并知道由测量、仿真或计算得到的电源分配电络的阻抗，那么我们就能在最差情况且为实际条件下计算出预期噪声。
虽然我们不能产生在终端用户测试环境中被拉出的每一个电流波形，但基于它的阻抗行为评估PDN的可接受性是可能的。阻抗能成为PDN设计可接受性的替代测度。
提示:
如果你不知道片上电源电流的特殊频谱，那么你可以使用PDN阻抗曲线作为PDN设计中可接受性的替代测度。
如果阻抗是鲁棒性PDN质量的测度，那么PDN设计就可简化为目标阻抗值的设计。这使得阻抗成为PDN性能中最重要的设计度量。我们应理解阻抗的各个方面信息，了解选择元件和物理设计如何影响阻抗成为PDN设计中重要的方面。我们从讨论阻抗和电容器的阻抗特性开始这个过程。
在一般的电子设计中阻抗是基本电量，是PDN设计中最为重要和基本的原理。
2.2 频域中的阻抗
阻抗是指元件两端电压和流过它的电流之比：
式中，Z是元件两端的阻抗；V是元件两端之间的电压；I是通过元件从一个端口进入从另外一个端口流出的电流。
这个基本的定义可用于时域和频域，也能延伸到多端口元件中，例如，两个平面中不同位置之间的电压。这是在本章结尾处描述的转换阻抗的基础。
虽然阻抗在时域和频域内都能很好地定义，但对理想元件（如电容器或电感器），在频域内对阻抗的定义有更加简单的描述。
提示
阻抗在时域和频域都能很好地定义，在频域其更为简单和容易。这就是为什么在这个域用于表示和分析PDN阻抗。
例如在时域，通过理想电容器的电流是：
式中，I是流过电容器的电流；C是电容器的电容值；V是电容器两端的电压。
使用阻抗的定义，在时域内电容器的阻抗是
正如我们预期的那样：它是连续的，dV/dt越大，流过电容器的电流越大，阻抗越小。理想电容器的阻抗依赖于电容器两端电压波形的斜率。虽然这个表达式是绝对准确的，但是在实际应用中，使用它是令人尴尬的，因为阻抗与电容器两端电压波形形状的依赖关系是很复杂的。
当我们将其转换成频域，它仅允许波形是正弦波，电容器的阻抗取简单形式：
式中，Z是理想电容器的阻抗；C是理想电容器的电容值；j是－1的平方根；ω是角频率为2πf。
同样，在频域内理想电感器的阻抗与时域相比也有简单的形式：
式中，Z是理想电感器的阻抗；L是理想电感器的电感值；j是－1的平方根；ω是角频率，为2πf。
因为在频域内阻抗有简单的形式，所以对于很多问题在频域内都能很快得到答案。这使我们有目的地离开时域，工作在频域。与阻抗有关的问题通常是在频域上分析的。
提示
虽然常常在时域评估性能，但我们有时通过频域来走捷径很快就能得到回答。这是考虑频域分析的最重要理由。
阻抗中的“j”意味着阻抗是复数——在任意频率下它都有两个值。它可用幅度和相位或者实部和虚部来表示，在很多情况下，复数阻抗用幅度和相位表示更为普遍。
当阻抗在频域内用实部和虚部分量描述时，虚部分量被称为电抗。在由电阻（R）、电感（L）、电容（C）元件组成的电路中，电抗是由L和C的值决定的。例如，R和C元件串联时，阻抗是：
电抗是虚部项，习惯上用字母“X”来表示：
对于单个理想电容C，电抗随频率的增加而减小，频率增加10倍，幅度减小到原来的1/10。由于阻抗幅度中因子10代表－20dB，我们称电抗随频率的滚降是每十倍频程-20dB。这是典型的具有单个电容器元件的电路。
对于单个电感器，情况是类似的：
电抗随频率的上升每十倍频程上升20dB。
提示
在频域，电容器或电感器的阻抗随频率的变化率是每十倍频程20dB。在对数对数坐标系统中，这是直线，电感器的直线斜率是＋1，电容器的直线斜率为－1。这就是为什么在垂直方向上绘制对数阻抗，在水平方向绘制对数频率的原因。
2.3 阻抗的计算或仿真
虽然用纸和笔就可在频域内计算单个元件的阻抗，但是随着电路中元件数量的增加，指数级增加的计算量令人乏味。
幸运地是，我们能应用SPICE或者类似的仿真器来计算任何理想、线性、时变电路元件集合的阻抗。这些仿真器一般容易使用、免费、能工作在各种流行的操作系统中。它们也有绘图输入和显示，这使它们具有普遍的价值。
特别要提到的是QUCS(Quite Universal Circuit Simulator)，它是一种免费、开放源、强大并且使用简单的仿真器，你可将其用于阻抗计算或分析，在本书中有很多使用QUCS的例子。其他的例子则使用了最高级的终端电路仿真器工具之一，Advanced System Design (ADS)，它可由Keysight Technologies,formery Agilent Technologies得到。结果完全相同。
提示
阻抗仿真的基本工具是SPICE-兼容电路仿真器。最容易使用的免费版本是QUCS，而最高级的终端版本或许是Keysight的ADS。这些工具能用于任何电路组合中仿真阻抗曲线。
任何电路在SPICE中能建立阻抗分析器的奥秘是AC恒流源。在SPICE中，不管在任何负载下，理想恒流源总是输出一个恒定电流。在输出任何需要的电压来驱动固定的电流，这样即可保持恒流。
在AC模式中，恒流源输出的是幅度保持恒定的正弦波电流，独立于负载，图2-1所示为这个电流波形。
为输出这个AC电流的恒定幅度，这个正弦波电压的幅度源输出必须是特定值。在频域，所有的波形都是正弦波。任何正弦波的频率、幅度和相位即可完整地描述一切。
AC恒流源的正弦波输出电压总是与流过它的正弦波电流有关，关系为：
式中，V(ω)是每个频率的正弦波电压的幅度和相位；I(ω)是每个频率的正弦波电流的幅度和相位；Z(ω)是每个频率的负载阻抗的模和相位。
所有这些量都是复数。基于加到这个电流源上的负载，仿真得到的复数电压从数值上说就是负载的复数阻抗。仿真电压的幅度是阻抗的模，仿真电压的相位就是负载阻抗的相位。
这个关系可简单地说，如果我们用幅度为1A、相位角为0°的恒流正弦波，那么以伏为单位输出电压的幅度，在数值上就是以欧姆为单位的阻抗。重要的还有，仿真电压的相位在数值上就是阻抗的相位。
由恒流源仿真电压的幅度和相位，就可在任何频率下仿真加到这个恒流源负载上的复数阻抗。图2-2所示为说明简单阻抗分析器的电路和几个理想元件的仿真结果的阻抗图。
在阻抗分析器电路中，恒流源左边的1GΩ的电阻器是为了保持仿真器的吸出通路而设置的。很多仿真器需要每个节点到地的DC通路。这个电阻器当输出开路或是容性负载时对恒流源输出提供DC通路。它限制了我们能仿真的最高阻抗是1GΩ，这对所有的PDN应用是完全合适的。
注意：理想电容器和电感器的阻抗模是在对数——对数坐标上标注的。理想电容器的阻抗随频率而下降，理想电感器则随频率而增加，其变化是每十倍频程20dB。
当作阻抗与频率关系图时，对数对数坐标总是最有用的格式，因为它可直接指出电路行为是容性还是感性的。
理想电容器的阻抗随频率下降，而理想电容器阻抗的相位为常数-90°。理想电感器的阻抗随频率增加，而理想电感器阻抗的相位为常数＋90°。当然，理想电阻器阻抗的模是常数，阻抗相位为0°。
阻抗相位与阻抗曲线的形状密切相关，潜在的根源是Kramers-Kronig关系式。本质上这个概念是：对频域上的任何复数函数，它在时域描绘了一个真实世界的影响，这不妨害因果性——在仿真后总是有反应——在复数函数的实部和虚部必定存在特定的联系。
Kramers-Kronig关系式说明，知道阻抗的实部就可知道其虚部。当描述阻抗的物理结构时，实部和虚部被这个关系所约束。这个关系的影响是阻抗曲线模的形状与阻抗相位有关。知道阻抗曲线的形状就可知道相位，在阻抗和相位图上能寻找到这个行为。
在所有电路中，电容器阻抗的模每十倍频程滚降－20dB，相位接近-90°。当阻抗的模每十倍频程增加20dB时，相位接近＋90°。当阻抗曲线不随频率变化时，相位将接近0°。这意味着：如果我们仔细地注意阻抗曲线的形状，那么当它画在对数对数坐标上时，我们能推断出它的相位。
提示
知道阻抗的模就可知道阻抗的相位。当模随频率下降时，相位接近－90°，当模随频率增加时，相位接近＋90°。这是基本的本质，物理系统的因果关系。
因为可以推断出它的形状，所以用不着总是显露阻抗相位，而应聚焦于阻抗的模，一般把它们画在对数对数坐标上。
永远不要把理想电容器和电感器的电容与电感与它们的阻抗相混淆。对于理想电路元件，由定义可知，理想电容器的电容值是常数，不随频率的改变而变化。同样，由定义可知，理想电感器的电感值是常数，不随频率的改变而变化，正如理想电阻器的电阻值。L和C的阻抗随频率而变化，但是它们的电容值和电感值是常数。
提示
不要忘记，理想电容器的电容值不随频率变化，是常数，但是它的阻抗随频率而变化。电感器也是如此。
使用任何电路仿真器都可自动计算出这些特性。所有版本的SPICE都可用此法仿真任何电路阻抗。
2.4 实际电路元件与理想电路元件
使用QUCS阻抗分析器电路可仿真由任何理想电路元件组合的电路的阻抗。
重要的是要意识到，理想电路元件和实际电路元件之间的区别。理想电路元件有明确的特性，可用在电路仿真中。实际电路元件具有包含寄生效应可测量阻抗的真实物理结构。不幸的是，我们对理想电路元件和实际物理结构使用相同的术语（如电容器），即使它们的行为和特性是非常不同的。
尽管我们称这种“结构”为真实电容器，但它测量的阻抗在一些频段与理想电容器的行为不会接近。
提示
基于它的物理设计、材料特性和麦克斯韦方程，真实电路的行为与附加寄生效应的理想元件有些相同。理想电路元件是非理想物理元件的理想表现。
在特定场合，使用一些形式的行为模型（如依据S参数描绘的行为模型），真实元件的测量阻抗能归并入电路仿真中。采用特殊的仿真器工具可允许S参数行为模型并入具有传统的RLC和T元件的电路仿真中。即使如此，如果你不能完全了解测量装置的详情或S参数是如何产生的，那么使用行为模型仍旧有点危险。
我们能使用双端口技术的网络分析仪测量实际电容器的阻抗，这在第3章中讨论。图2-3所示为测量0603多层陶瓷芯片（MLCC）电容器直口阻抗。
在低频时，实际电容器的阻抗与182nF的理想电容器的阻抗相当。图2-4比较了实际电容器的测量阻抗和理想电容器的仿真阻抗。在这个例子中，一直到3MHz，它们完全一致。
可是，描述这个实际电容器阻抗行为的较高频带模型是一个RLC电路。图2-5指出：这个实际电容器的测量阻抗的模和相位和RLC串联电路的仿真阻抗相一致。使用在这个仿真电路中使用的数值是：R=18mΩ，C=182nF，L=1.3nH。
注意：虽然阻抗随频率而改变，但理想的R、L和C的值不随频率而改变。这个例子说明，实际结构的测量阻抗可以用理想电路元件的组合来很好地近似。从观察和经验可得，我们能以合适的拓扑组合几个理想元件并且选择合适参数值来近似实际物理元件的非理想寄生效应。本例子中，在高达200MHz的带宽内，这个简单模型和实际测量的性能相一致。模型带宽可能比200 MHz更高，只是这不能通过测量来告诉你而已。
提示
这是相当引人注目的，在非常高的带宽内，实际上有时复杂结构的测量阻抗可用相当简单的理想电路元件的组合来准确近似。
如何知道模型是否已很好地匹配或者多宽的频带可达到测量性能，通常唯一的方法就是测量。这就是下一章聚焦于测量技术的原因。
与PDN关联的大多数结构可以用两个简单的RLC电路和它们的组合来描述：R、L和C的串联组合及R、L和C的并联组合。
从测量或仿真源的角度看，术语串联和并联，是表示L和C如何连接在一起的。R元件与其中的一个电抗串联或者并联均可。
了解这些电路的特性将使我们理解PDN性能更为容易。
2.5 串联RLC电路
图2-5所示的例子也说明了RLC电路如此重要的原因。它是实际电容器行为的一个优秀模型。我们只要用一些代数方法将每个元件的阻抗相加即可计算串联RLC电路的阻抗。描述这个串联阻抗可用以下公式：
我们也能使用SPICE中的阻抗分析器电路仿真这个阻抗。理想的R、L和C组合的仿真阻抗如图2-6所示，图中它与以模和相位表示阻抗的串联RLC电路的仿真阻抗相比较。
3个重要的特性存在于串联RLC电路模型的阻抗曲线中，在频带内，其行为像电容、电阻和电感。
在最低频率时，RLC电路阻抗中占据主导地位的是电容器，RLC电路阻抗的相位可能达到－90°。这就如理想电容器，与Kramers-Kronig关系相一致。电容仅影响低频阻抗，如图2-7所示。因为电容的改变，串联RLC电路的阻抗仅在低频端受到影响。
在高频端，串联RLC电路阻抗中占据统治地位的是理想电感的阻抗，RLC电路的相位可达到＋90°，与理想电感器相同。电感变化仅仅改变RLC电路的高频阻抗（见图2-8）。
在容性电抗和感性电抗的频率交替地方，串联组合的阻抗趋于0，串联RLC电路阻抗中占据统治地位的是理想电阻元件的阻抗。我们可计算容性和感性电抗的模交替的角频率，由相等可得：
和
最小阻抗处的频率被称为自或串联谐振频率（SRF），可推导：
式中，SRF是自或串联谐振频率（Hz）；ω是角频率（rad/s）；L是电感（H）；C是电容（F）。
SRF更为习惯的是：
式中，SRF是自或串联谐振频率（MHz）；L是电感（nH）；C是电容（nF）。
例如在上面的RLC电路中，L＝1nH和C=1nF，计算得到的SRF=159MHz。这是最小阻抗的频率。
在这个谐振频率上，我们得到的容抗和感抗为
这个阻抗常常被称为RLC电路的特性阻抗。这是没有办法的，它的名称与传输线的特性阻抗相同，但是，它是RLC电路的阻抗“特性”，与L和C元件在谐振频率时阻抗相等。
提示
在串联RLC电路中，低频阻抗仅由电容器来确定而高频阻抗仅由电感器来确定。
2.6 并联RLC电路
并联RLC电路是同样有用的理想电路模型。这里，3个理想电路元件并联，正如图2-9所示。
在低频端，阻抗由并联的电感阻抗占统治地位。其行为像DC短路，然而其阻抗随着频率的增加而增加。在高频端，电容器的阻抗占据统治地位，但是它的阻抗随频率的增加而下降。当L和C的并联阻抗最大时，称为峰值阻抗，电路阻抗受限于电阻元件的阻抗值。
阻抗峰是指并联谐振峰。当容抗和感抗相等时，它们的并联阻抗最大。如果不存在并联电阻，只有L和C的并联谐振峰阻抗将为无穷大。电阻的作用是使这个并联谐振峰下降。如串联谐振频率那样，并联谐振频率（PRF）是感抗和容抗相等的频率：
式中，PRF是并联谐振频率（Hz）；L是电感（H）；C是电容（F）。
图2-9并联RLC电路和阻抗行为，其中R=1kΩ，L=10nH和C=1nF
PRF更为方便的是：
式中，PRF是并联谐振频率（MHz）；L是电感（nH）；C是电容（nF）。
例如，若上面的并联RLC电路中，L＝10nH、C＝1nF，那么PRF＝50.3MHz，这个频率就是峰值阻抗的频率。
提示
阻抗曲线的峰值几乎总是由并联RLC电路产生的。你可以利用你对特性的理解，来影响这个峰阻抗，使其降低。
2.7 串联和并联RLC电路的谐振特性
在串联或并联RLC电路中，有3个特征来描述阻抗特性：
- 谐振频率
- 谐振时的最大或最小阻抗
- 凹坑或峰值的宽度
阻抗的凹坑或峰值发生在串联或并联谐振频率时，这与L和C的值有关，可用式（2-18）计算：
式中,L是电感（nH）；C是电容（nF）。
在SRF或PRF时感抗或容抗就是电路的特性阻抗Z0，可用式（2-19）来计算：
式中，Z0是RLC电路的特性阻抗，不要与传输线的特性阻抗相混淆。
RLC电路的特性阻抗与均匀传输线的特性阻抗概念毫无关系，它就是RLC电路的阻抗特性。
求解角频率：
和
电阻元件强烈地影响着并联或串联电路在谐振时的阻抗。在不存在阻尼的情况下，峰值或最小值趋向无限或者零。阻尼由电阻器的电阻来提供，使它们的峰值脱离极限值。
在串联RLC电路中，阻抗的最小值几乎就是电阻值。在SRF时，容抗和感抗相互抵消，结果是串联阻抗正好等于R值。在并联RLC电路中，阻抗的最大值是并联电阻值。在PRF时，容抗和感抗相互抵消，结果是并联阻抗值再次等于R值。
当远离SRF时，在低频阻抗曲线仅依靠C的值，而在高频则依靠L的值。在谐振频率附近，阻抗行为由于电阻而稍微有些改变。当使用较大的R时，最小阻抗值上升，在SRF时凹坑变浅，看起来似乎凹坑变得宽了。图2-10所示为3个不同电阻值的阻抗曲线。
随着串联电阻的增加，凹坑深度下降，但是外部的阻抗极值几乎不受影响。这个例子也说明了阻抗曲线的形状和相位之间的关系，就如同Kramers-Kronig关系的结果。阻抗平坦和接近为常数的频率跨度越大，越类似于理想电阻器的行为，相位越靠近0°，这是理想电阻器阻抗的相位。
阻抗曲线的形状非常依赖的不仅是Rseries值，也依赖L和C的值。在RLC谐振电路中，描述电阻及其影响的优值是q因子或电路的“品质”。有时，谐振电路的品质是用字母Q表示，由于在本书中，我们使用q因子，所以不要将其与电容器存储的电荷相混淆，为此我们保留字母Q。
在谐振电路中，q因子被定义为：
它也是电路的特性阻抗与阻尼电阻之比和谐振频率与最大值或最小值一半的全宽度的频率跨度之比。在RLC串联电路中，q因子是：
例如，在前面的电路中，L=10nH和C=10nF，q因子是：
当Rseries＝1Ω时，q因子是1。在图2-10中，在仿真中使用的3个不同电阻值对应的q因子分别是10、1和0.1。
q因子是系统有关阻尼的测度。在高q因子系统中，峰值频率中存储的一小部分能量消失在每个周期中。系统连续地在时域中长时间振铃，阻抗曲线显示为尖锐和窄的倾斜。在低q因子系统中，存储的能量大部分损耗在每一个周期中，系统快速地停止振铃，阻抗曲线的凹坑是宽的。注意：这里我们讨论的是串联RLC电路，它有与q因子有关的阻抗凹坑。在这种情况下时域振铃是电流。q因子的概念同样也可用在具有阻抗峰值的并联RLC电路中。在这种情况下时域振铃是电压。
作为振铃的粗略测量，q因子的1/2是临界阻尼，在最快的无振铃建立时间之间有完美的平衡。更高的q因子值会显示更多的振铃，低的q因子有缓慢的响应。
串联RLC电路的特性阻抗是发生在容抗和感抗交叉处，实际上它是RLC电路中非常有用的参数，因为它可直接决定Rseries，而Rseries是求解q因子第一需要的值。
在串联RLC电路中，我们也可看阻抗凹坑的最小值，电阻Rseries与q因子的关系为：
串联RLC电路中的q因子是阻抗凹坑的深度相较于串联RLC电路特性阻抗的测度。在高q因子电路中，最小阻抗与特性阻抗相比是非常小的。谐振凹坑的外观是一种展示，高q因子电路是尖锐的。
同样的分析可准确地应用在并联RLC电路中。图2-11所示为同样的RLC元件并联后的阻抗曲线，q因子分别是0.1、1和10。
并联谐振的阻抗峰值粗略地说是与电路的q因子有关，电路的特性阻抗可用式（2-27）计算
在式（2-27）中，电阻是与L和C并联的，如果电阻与并联谐振电路中的电容或电感串联，那么方程将是：
在上面电路的L和C的值下，特性阻抗是1Ω，对于3个不同的q因子，峰值阻抗分别是10、1和0.1Ω。
提示
降低并联RLC电路峰值阻抗的一个重要方法是增加阻尼，即降低电路的q因子。实现的方法是增加串联电阻值或降低并联电阻值。
为了减小谐振频率时PDN阻抗峰值高度，我们可使q因子接近1。即让R靠近RLC电路的特性阻抗，其方法是较高的R、较低的L或较大的C。在本章和后面的章节中，我们将指出，这些值是如何成为重要的设计目标的。
提示
串联或并联RLC电路中两个重要的指标是特性阻抗和q因子。并联电路的峰值阻抗与Z0×q因子有关，串联电路的最小阻抗与Z0/q因子有关。
2.8 RLC电路和真实电容器的例子
在任何并联或串联RLC电路中，有4个重要的指标，它们分别是谐振频率、特性阻抗、q因子和分别对应并联或串联电路的最大或最小阻抗。它们描述了这些电路的特性，值得牢记。
或者
式中，SRF是串联谐振频率（MHz）；Z0是电路的特性阻抗（Ω）；q因子是电路的品质因子；Zmin是串联RLC电路的最低阻抗；Zmax是并联RLC电路的最大阻抗；Rseries是串联电阻器的电阻值（Ω）；C是电容器的电容值（nF）；L是电感器的电感值（nH）。
提示
每一个RLC电路都有描述其特性和性质的四个指标。分析任何RLC电路的第一步就是计算这4个指标。
例1有一个大的钽电容，它的模型是串联RLC电路，具有的典型值为：C=1000μF=106nF、L=8nH、R=0.05Ω：
在这个例子中，我们看到非常大的钽电容有低的q因子，可预期其有平坦的阻抗曲线。由AVX提供了类似的电容器，但其具有较低的L和较高的SRF，它的阻抗曲线显示在图2-12中，可见它有非常宽和平坦的曲线。
例2一个典型的大MLCC（多层陶瓷芯片）电容器的尺寸为1206，使用X5R介质材料，其参数为C=10μF=10 000nF、L=3nH、Rseries=0.003Ω。
对这种取值大的MLCC电容器来说，由于q因子相对要大些，所以可预期有尖锐的谐振曲线。由AVX提供的阻抗曲线显示在图2-13之中。它被安装在印制板上并使用通孔吸附，L的值是1nH，这比这种尺寸的电容器可实现的典型值更加具有侵略性。与我们早先估计的值比较，AVX计算的SRF稍微高一些。
例3一个小值的MLCC电容器的尺寸为0402，为X7R介质类型，其参数为C=1nF、L=1nH、Rseries=0.16Ω。
对于取值小的电容器来说，电阻值大约是大电容器的50倍，这主要是由于有很少的并行导体板。可是，由于有较高的特性阻抗，所以q因子的值仍旧差不多。
2.9 从芯片或电路板的角度观察PDN
术语并联或串联是指L和C元件的电路拓扑。它们连接的拓扑决定了谐振时阻抗是最小还是最大。并联电路具有的阻抗是从并联的电感器和电容器测量得到的，损耗元件（电阻器）可与并联谐振电路串联或者并联。当电感器和电容器是并联时，它常表示为ESR(等效串联电阻)。串联电路具有的阻抗是测量串联的电感器和电容器的阻抗。
提示
当L和C是并联时，阻抗最大；当L和C是串联时，阻抗最小。
第一步是决定电路的类型，预期是阻抗峰或是凹坑，识别电路中需要测量或仿真的地方。从这个角度来说，我们识别L和C元件的电路拓扑，最后识别电阻与L或C和电源是串联还是并联的。图2-14所示为L和C元件串联或并联，串联或并联电阻的4种组合。
一个典型的PDN电路会显示出不同，这依赖于我们观察的角度。从芯片端看低阻抗印制板时，PDN看上去就如同具有串联电阻的并联LC电路。当从印制板端看芯片时，电路看上去就如同具有串联电阻的串联LC电路。图2-15说明了同一电路的两个角度。
从印制板的角度看，通过封装看向芯片时，封装引线电感是与片上电容串联的。看向芯片的阻抗显示为具有低阻抗凹坑的串联RLC电路。在高频端，阻抗随频率连续增加，封装引线电感占据主导地位。
提示这意味着我们仅能从印制板角度看到片上环境的低频阻抗。从印制板观点看，芯片局部PDN环境的高频特性被封装引线电感和片上电容较低的阻抗所阻隔。
从芯片的角度看向印制板平面PDN的其余电路，片上电容与封装引线电感并联，结果是产生阻抗峰值。在高频时，阻抗随频率下降，占据统治地位的是片上电容，最终的限制是芯片的金属化。
在低频，芯片看自己的阻抗被连接到低阻抗印制板的封装引线电感所短路。包含VRM的印制板级阻抗，在低频方向有阻抗下降。从芯片的角度看，低频阻抗最终受限于封装引线的串联电阻和其余印制板路径的电阻。
在封装和芯片中，对串联电阻的贡献有两种。片上金属化的PDN轨是与片上电容串联的电阻，封装的引线电阻和通孔至电路板的电阻，它们与封装引线电感串联。从印制板方向看入，当串联时，4个元件的等效串联电阻恰恰是片上金属化电阻和封装引线电阻的总和。4个元件的串联阻抗与它们在电路中的次序无关。
从芯片的角度看，并联电路的等效串联电阻稍微复杂一些。在低频，芯片上的短路电容，通过低阻抗的封装引线变成了高阻抗。在低频，占统治地位的封装引线电阻与电路板其余的电阻串联。从片上电容的角度看上去高频阻抗是低的，从芯片的角度看上去，占据统治地位的是片上金属化的串联电阻。
在谐振附近，环路电流流过并联LC组合，包括封装引线电阻和片上电阻。这些损耗的加入和谐振附近的电路看上去就像一个并联RLC电路，它具有的等效电阻为引线电阻和片上金属化电阻串联后的阻值。
提示
对于相同的电路，从芯片边看上去，相互连接的结构像一个具有峰值阻抗的并联RLC电路；当从印制板边看去，就像具有最小阻抗的串联RLC电路。
PDN从两个角度观察这种特殊情况，可看到串联和并联的RLC电路有相同的优值，只要R被峰值引线和片上金属化电阻串联组合代替即可，这是等效串联回路电阻。
对于一个小芯片，典型的值可能为：Cdie=50nF、Lpackage=0.5nH、Rleads=0.01Ω、Rmetalization=0.005Ω、Requivalent=0.015Ω。
我们预期的优值为
注意：这些电路的q因子是高的，这表示有峰值响应。我们可以使用图2-16所示的电路对这两种情况进行仿真。这两个电路的阻抗曲线是不同的，即使它们由相同的元件组成。
使用前面定义的元件值，对图2-16所示的阻抗进行仿真，结果显示在图2-17中。从阻抗曲线来看，我们可将优值与估计值相比较，一致性非常好。
在测量PDN时，这个电路是重要的。阻抗曲线和测量的准确内容是如何阻抗测量与相联系的。
2.10 瞬态响应
如果电流流过这个电路的话，那么电路的阻抗曲线是对与其混合在一起的电压噪声的直接指示［7］。当电流的频率分量流过这个阻抗时，在这个频率处产生的电压与电流的振幅和阻抗有关。
注意：当进行时域分析时，我们仅仅评估稳态时不变响应。实际上我们假设每个电流的频率分量是连续的，电压响应是稳态响应。可是，这常常是希望的响应。有几种情况常常适用于恶劣波，正如第9章讨论的那样，这里的瞬态响应揭示了不会在频域内出现的新行为。
提示
频域响应是好的一阶评估，能帮助我们快速地估算PDN的电压响应。可是它不是完整的响应，特别是当电流源有复杂行为时。这就是分析瞬态响应总是很重要的原因。
虽然面对任意电流波形的复杂的阻抗曲线时，要解析计算瞬时电压是困难的，但对与任意阻抗曲线相联系的电压噪声进行仿真是容易的。图2-18所示为SPICE电路的例子，它用于仿真瞬时电流源产生的瞬时电压噪声。
在这个例子中，电路模型左边的R和L元件已加入到电压调整模块（VRM）的仿真中。两个串联的RLC电路
图2-19前面例子中电路的阻抗曲线，已加入了VRM模型。注意：并联谐振发生在25MHz左右
已被加入到实际的去耦电容器的仿真中。作为仿真瞬时响应的序曲，我们首先要看这个电路在频域内的阻抗曲线如图2-19所示。
当PRF为25MHz的频率分量流过这个电路时，可看到大的阻抗，电路在两端产生了大的电压。
在时域，由PRF产生的噪声在PRF时出现振铃。在时域仿真中，振铃幅度依赖于在电流波形中当为PRF时有多大的振幅存在。
电流波形的频带宽度揭示了最高预期的正弦波频率和与有关电流上升时间之间的粗略关系
式中，BW是信号的频带宽度（GHz）；RT是波形10%～90%的上升时间（ns）。
例如，电流波形在10ns的上升时间内给出的频带宽度为：
对于10ns上升时间的电流阶跃，预期的频率分量高达35MHz，但是超过这个频率后分量就很小了。如果这个阶跃电流流过图2-18所示的电路且具有25MHz的PRF，那么我们可能看到由于高阻抗而在25MHz处产生的振铃。
如果电流阶跃的上升时间增加到30ns，那么频带宽度下降到大约10MHz。在25MHz处电流分量的振幅很小，可看到预期的电压噪声下降。这个例子显示在图2-20中，图上显示了10ns和30ns上升时间的瞬态电流波形，产生的瞬时电压噪声如图2-18所示。
注意：即使电流波形有平滑的高斯边缘，电路两端产生的电压，在阻抗有峰值的PRF处仍旧显示大的振铃。
这个电路的PRF是25MHz，振铃的周期是40ns，这些图和PRF是对应的。虽然上升时间发生了改变，但振铃频率不变。振铃频率是电路固有的，与PRF有关但与电流波形无关。
提示
在PDN中测量的振铃电压噪声常常是阻抗曲线峰值的指示。振铃的幅度与峰的高度和振铃频率时电流波形内的能量有关。这就是并联谐振在PDN设计中如此重要的原因。
振铃幅度依赖于电流阶跃在振铃频率时的相关能量。上升时间越长，在25MHz处的能量越少，噪声幅度越低。
2.11 高级主题：阻抗矩阵
阻抗的基本定义是电压与电流之比。当应用于双端口时可普遍地来看问题，具有双端口的归一化电路如图2-21所示。
不管黑匣子内的电路是什么样的，电路可能是单个的R、L或C，或者是25个元件连接成的复杂网络，只要连接到外部世界的仅是两个端口，就是双端口电路。
电路阻抗由它的端口特性来定义，这种情况下的端口标记为端口1。阻抗的基本定义基于出现在端口的电压V1与进入或出来的电流I1之比：
式中，V1是端口1之间电压；I1是进入端口1或从端口1出来的电流。
当只有两个端口时，电路阻抗的定义是很平常的。当有多个端口时，阻抗仍旧能定义，但是其具有更为复杂的意义，包含电路行为更多的信息。随着端口数量的增加，电路复杂性呈指数增加。为了简化不同阻抗的描述和更有效地处理掩盖在这些阻抗下的信息，采用了矩阵的形式，这是紧凑、有效地描述多端口的方法。
提示
原理上，阻抗最初是为双端口器件定义的，可扩展为很多个的端口。为减小随端口数量增多时增加的复杂性，矩阵形式是很重要的。
在这种形式中，每一对端子被称为一个端口。在每一个端口的两个端子之间定义电压。电压是两个点之间的电位差。电流定义为从一个端子进入，从另外一个端子出来。
在n个端口电路中，有n个电压和n个电流。作为电压与电流之比的阻抗可定义为任意电压和电流的组合。为了跟踪每个不同的比值，矩阵可用于存储阻抗值。矩阵中的每个元素对应于不同的比值。行是电压被选择的端口，列是电流被选择的端口，以这种方法，阻抗矩阵定义为：
式中，Vj是第j个端口的电压；Ik是流入第k个端口的电流。
这种形式适用于线性、无源、时不变系统。这意味着黑盒子内的电路元件不会改变，没有新的连接，电路是固定的。在加入的正弦波信号周期内，每个矩阵元素的阻抗是常数。这就是所有无源元件相互连接的情况。
线性网络要求以频率f进入的单个正弦波仅在该正弦波频率处产生响应，并且不产生谐波，线性叠加亦适用。这意味着任何元件的阻抗完全独立于与任何端子相关的电压或电流。除了一些铁氧体之外，所有互连结构都属于这种情况。
阻抗矩阵定义了电压和电流连接的所有组合：
提示
每个阻抗矩阵中的元素与端口上产生的电压与通过端口的电流之比相关。
在频域中，电压和电流是复数，因此阻抗矩阵为复数并且通常随频率而变化。每个阻抗矩阵元素都是复数且与频率相关。明确地写出有助于记住其复数性质：
用一个简单的例子说明阻抗矩阵的功能。图2-22表示了一个双端口通用电路。
这个电路有两个电压和两个电流，因此电压和电流有四种组合，它们的比就是阻抗。每一个都有独立和重要的意义。
所有阻抗矩阵元素的组合能归类为简单的2×2矩阵：
这个矩阵定义了每个节点电压和进入每个节点的电流之间的关系。使用矩阵形式，每个节点的电压和进入该节点电流的关系是：
我们写出由这个矩阵定义的方程，它为
这些方程进一步改善了阻抗矩阵元素的定义。一个特定的阻抗矩阵元素可从其他的元素中提取出来，只要设置所有电流为零，除了进入一个端口的电流外。例如，为了得到对角线矩阵元素，设置所有其他的电流为零，除了对角线端口。我们可计算为
这个对角线元素被称为“自”阻抗。它们代表了没有电流流入其他端口时，从一个端口看入的电压和进入这个端口的电流之比。
提示
阻抗矩阵的对角线元素是自阻抗。当所有进入其他端口的电流是0时，自阻抗与双端阻抗是相同的。
我们提取非对角线元素，它们被称为互阻抗、转移阻抗或传输阻抗。使用同样的方法，设置所有进入其他端口的电流为0。这个很容易实现，只要保持开路时端口的电流为0。当I1=0，端口1的电压变成：
从这个关系中可计算出一个非对角线元素为：
用同样的方法可计算出第二个非对角线元素或转移阻抗为：
术语转移阻抗也能用于描述导体的屏蔽效果，如电缆的屏蔽和围绕物体。在这个应用中，转移阻抗是导体一个边产生的电压与另外一边的电流之比。它是外表面到内表面能量转移的测度。
术语传输阻抗与器件有关，它把电流变换成为电压。一个简单的电阻器能完成这个功能，传输阻抗是电压与电流之比，即相当于电阻。传输阻抗放大器使用一个运算放大器，并把电阻器作为反馈。开始时它的传输阻抗非常高，但是随频率而降低，这是因为放大器的增益带宽超过了限制。
当用于描述阻抗矩阵的非对角线元素时，转移阻抗和传输阻抗也与某个区域的电流在另外区域产生的电压有关。
阻抗矩阵中的转移阻抗描述了进入一个端口的电流在另外端口产生电压之间的耦合关系。如果两个端口之间的转移阻抗为0，一个端口的电流在另外一个端口产生的电压为0，那么这就不存在耦合关系。
图2-23具有不同转移阻抗的两个不同的双端口电路
另外一种极端情况，如果两个端口耦合得很紧，它们差不多连接在一起，那么流入一个端口的电流在两个端口上产生相同的电压。转移阻抗将与每个端口的自阻抗相同。这些是转移阻抗的两个极端情况，0意味着端口之间没有耦合，等于两个端口的自阻抗意味着100%的耦合。
转移阻抗的概念是微妙和易混淆的，因为我们具有阻抗的直觉。转移阻抗并不直接连接两个端口，它不是在两个端口间使用欧姆计测量的阻抗。它可解释为一个端口的电流和在另外一个端口产生电压之间的关系，它是耦合的测度。
提示
转移阻抗不是两个端口之间的连接，它不是两个端口间使用欧姆计测量的阻抗。它可解释为一个端口的电流和在另外一个端口产生电压之间的关系，它是耦合的测度。
在图2-23的顶部电路中，电阻的中心端用电线连接到返回路径。根据自阻抗的定义可知，每个端口的自阻抗就是这个电阻：
这个电路的转移阻抗都为0。进入端口1的电流为0，端口1开路，没有电流流过端口1中的电阻，端口1上没有电压降。不管电流是否流入节点2，节点1的电压V1=0：
同样，其他的转移阻抗也为0:
这个电路的阻抗矩阵为：
这个矩阵描述的是端口之间的电流没有耦合。
在图2-23所示的底部电路中，我们看到对角线阻抗元素为：
在这个电路中，我们对转移阻抗更感兴趣。当端口1的电流为0时，端口1开路。在这种情况下，流入端口2的电流I2在电阻器C的两端产生电压，这个电压又出现在端口1，转移阻抗项为：
由此而得，这个电路的阻抗矩阵为：
转移阻抗描述了端口之间的耦合量。转移阻抗越大，耦合越大。极限是转移阻抗等于自阻抗。随着RC的增加，RA和RB保持相等，转移阻抗趋于接近自阻抗。
提示转移阻抗描述端口之间的耦合量。转移阻抗越大，耦合越大，直到转移阻抗等于自阻抗。
这些例子使用电阻元件来说明阻抗矩阵，通常情况下，每个元素都很复杂且随频率而变化。当双端口之间的电路为复杂的黑匣子时，抽取阻抗矩阵元素只有依靠仿真才有可能。
使用本章前面概括出的原理，我们能仿真任意电路阻抗矩阵中的每一个元素。例如，我们能容易地仿真具有公共引线电感的双RLC电路，这个电路如图2-24所示。可知若想进入一个端口的电流为0，则仅需这个口开路。
在左边的电路中，电流强制进入端口1，仿真端口1和2的电压。端口1的电压和流入端口1的电流之比就是自阻抗Z11，端口2的电压和流入端口1的电流之比就是转移阻抗Z21。强制进入端口1的电流有1A的幅度，其他端口的电压在数值上就是阻抗：
同样对于右边电路，当端口1设置为开路且进入电流为0时，电流强制进入端口2对端口1和2的电压进行仿真，得到的数值就是阻抗：
用这种方法，我们可以使用任何版本的SPICE来仿真任何电路的阻抗矩阵元素。在这个例子中，两个RLC电路有相同的L和R值，分别是5nH和0.005Ω。加在端口1的电容器C的值是1000nF，加在端口2的电容器C的值是100nF，公共引线电感是5nH。仿真的阻抗矩阵元素如图2-25所示。
由于具有公共引线电感的RLC电路在每个电路中是串联的，所以自阻抗是各自的。虽然每个电路有不同的电容，但每个电路的等效电感是相同的，每个端口在高频时自阻抗的极限是相同的。
转移阻抗是一个端口上的电压与强制进入另外端口上的电流之比。在这个例子中，在另外端口上的电压是由于电流流过5nH的公共引线电感而产生的。无论哪个端口的转移阻抗都是与5nH的电感相关联的。在仿真响应中，我们看到Z12和Z21就是5nH的电感器的阻抗。
本章给出的阻抗矩阵形式可用于所有电路。后面的章节将扩展这个概念，使其不仅用于集总参数元件，也可用于分布参数元件和由可用功率和地平面定义的波导腔。
2.12 总结
1.PDN的电压噪声与片上电流频谱和PDN的阻抗曲线组合有关。
2.无论是频域还是时域，阻抗总是为V/I。包含C或L元件的电路阻抗，在频域有较简单的形式，频域内的电压和电流都是正弦波。
3.不要混淆实际电路元件和理想电路元件，实际元件的作用是被测量而理想元件的作用是用于仿真。
4.很多复杂、实际结构的阻抗可用理想RLC电路元件的简单组合来描述。
5.两个最重要且需理解的电路结构是串联RLC电路和并联RLC电路，对实际的PDN而言，它们是强大的模型。
6.每一个RLC电路有4个重要指标：串联或并联谐振频率、特性阻抗、q因子、最小或最大阻抗。评估每一个RLC电路时，它们总是首要考虑的量。
7.PDN阻抗曲线最重要的特性是由并联谐振引起的峰值。它们与RLC电路的特性阻抗Z0和q因子有关。
8.当对瞬时电流仿真时，电路的振铃频率由PDN的峰值阻抗频率决定。
9.阻抗矩阵是多端口电路阻抗概念的强大扩展。这时，每一对端子被称为端口。
10.在阻抗矩阵中，对角线元素（称为自阻抗）与每个端口看入的阻抗有关。非对角线元素（称为转移阻抗）与端口之间的耦合有关。小的转移阻抗意味着有非常小的耦合。
参考文献
