主成分分析法是一个非监督的机器学习算法，主要用于数据的降维。通过降维，可以发现更便于人类理解的特征。
使数据映射到另一个轴上
求解目标
主成分分析的步骤：
- 对样本进行demean处理（使所有样本的均值为0）
-
取一个轴的方向 w = （w1，w2...，wn），使我们的样本，映射到w之后，使下式最大
均方差
由于均值为0，则只需要使下式最大
等价
映射的过程可以如下示意
映射过程
w为单位向量，则有
向量点乘
则最终目标为求取一个w，使得下式最大
目标函数
上式中为向量相乘，假设数据有n个维度，展开来是这个样子
展开以便理解
那么，这就变成了一个目标函数的最优化问题，可以使用梯度上升法解决
这个过程看起来跟线性回归很像，其实是不同的，需要注意
想想其中的区别
梯度上升
梯度上升的过程与梯度下降是类似地，需要先求导
沿着各个轴求导
像前面一样，可以化为矩阵运算的形式。设X为这样的矩阵
构造矩阵X
则求导可以写成这样的形式。这里就不推导了
矩阵运算
整理一下就是这个样子
最终结果
求取n个主成分
上面的操作中求取w的是第一个主成分，称为第一主成分。如果要求取第二主成分，则需要将数据在第一个主成分上的分量去掉，得到的数据再求取主成分，就得到了第二主成分。
绿色的向量就是第二主成分的数据
比如说有这么一个数据集
使用numpy生成一个数据集
找到第一主成分的方向w1。将数据在第一主成分上的分量去掉，得到的数据如下。再求取一次主成分，就得到了第二主成分的方向。
第二个主成分的数据
假设我们找到了k个主成分的方向，如果想将数据从n维映射到k维（n>k），则可以如下进行。令Wk为计算出的k个主成分的方向。
图没弄好
则可以进行矩阵运算进行降维。X有m个样本n个方向，映射后有m个样本k个方向
想象一下
同样，可以将映射到低维的数据重映射到高维，但是会损失一些信息，结果跟原来是不一样的
重映射
编程实现
"""
Created by 杨帮杰 on 11/4/2018
Right to use this code in any way you want without
warranty, support or any guarantee of it working
E-mail: yangbangjie1998@qq.com
Association: SCAU 华南农业大学
"""
import numpy as np
class PCA:
def __init__(self, n_components):
"""初始化PCA"""
assert n_components >= 1, "n_components must be valid"
self.n_components = n_components
self.components_ = None
def fit(self, X, eta=0.01, n_iters=1e4):
"""获得数据集的前n个主成分"""
assert self.n_components <= X.shape[1], \
"n_components must not be greater than the feature number of X"
def demean(X):
return X - np.mean(X, axis=0)
def f(w, X):
return np.sum((X.dot(w) ** 2)) / len(X)
def direction(w):
return w / np.linalg.norm(w)
def first_components(X, initial_w, eta=0.01, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
w = direction(initial_w)
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = df(w, X)
last_w = w
w = w + eta*gradient
w = direction(w)
if(abs(f(w, X) - f(last_w, X)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return w
X_pca = demean(X)
self.components_ = np.empty(shape=(self.n_components, X.shape[1]))
for i in range(self.n_components):
initial_w = np.random.random(X_pca.shape[1])
w = first_components(X_pca, initial_w, eta, n_iters)
self.components_[i,:] = w
X_pca = X_pca - X_pca.dot(w).reshape(-1,1) * w
return self
def transform(self, X):
"""将给定的X，映射到各个主成分分量中"""
assert X.shape[1] == self.components_.shape[1]
return X.dot(self.components_.T)
def inverse_transform(self, X):
"""将给定的X，反向映射回原来的特征空间"""
assert X.shape[1] == self.components_.shape[0]
return X.dot(self.components_)
def __repr__(self):
return "PCA(n_components = %d" % self.n_components
