3.1 整数的几何属性
毕达哥拉斯（Pythagoras）这个名字，大多数人都是从同名的定理中听说的。这位古希腊的数学家和哲学家曾经提出一个理念：要想理解世界，就必须先懂得数学。他还发现了数字的很多奇妙性质，而且认为这些发现无论有没有实际的用途，其本身都具备巨大的价值。亚里士多德的学生亚里士多塞诺斯（Aristoxenus）曾经说道：“他极其重视算术研究工作，并把这些研究从实用的商业领域中划分出来，单独加以推进。”
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前570—公元前490）
毕达哥拉斯出生于希腊的萨摩斯（Samos）岛，这个岛的海上力量在当时很强大。虽然生长于显赫的家族中，但比起财富，他更愿意追求智慧。年轻的时候，他曾经去米利都（Miletus）求教于泰勒斯（Thales，希腊哲学的奠基人，参见本书9.2节），而后者则建议他去埃及学习那里的数学秘技。
在毕达哥拉斯游学海外期间，波斯帝国征服了埃及。他跟随波斯军队向东到达巴比伦（Babylon，在现今的伊朗），学到了巴比伦人的数学和天文知识。那个时候，他或许碰到了由印度而来的旅行者。根据已知的资料，他当时接触并开始提倡诸如灵魂轮回（transmigration of souls）、素食论（vegetarianism）和禁欲论（asceticism）等理念这些理念通常来说是与印度宗教有所联系的，而在他之前，它们则完全不为希腊人所知。
返回希腊后，毕达哥拉斯开始在意大利南部的希腊殖民地克罗顿（Croton）发展，有一群男女弟子跟随他学习理念，并过着苦行式的生活。他们把主要的精力都用来研究天文、几何、数论及音乐这四门学科。在其后的两千年里，欧洲的教育一直以这四术（quadrivium）为中心。这四门学科是彼此相关的：星体的运动可以与几何对应起来，而几何又以数字为基础，此外数字还可以衍生出音乐。实际上，毕达哥拉斯是首个发现纯八度音（octave）在频率上有数学规律的人。他的弟子说他可以“听见天界的乐音”。
毕达哥拉斯死后，其弟子遍布该区域内的其他希腊殖民地，并取得了许多数学成果。由于他们是秘密传授知识的，因此很多成果可能已经散失了。而且他们为了防止彼此之间产生冲突，会把所有的数学发现都归功于毕达哥拉斯本人，这导致我们很难分辨其中的某个结果到底是由谁发现的。
尽管毕达哥拉斯学派（Pythagorean）的社团在几百年后就消失了，但是他们的学说依然具有一定的影响力。直到17世纪，还有像莱布尼兹（Leibniz，微积分的创立者之一）这样的人宣称自己是毕达哥拉斯主义者。
由于毕达哥拉斯及其追随者都是秘密从事研究的，因此他们的著作没能流传下来。然而我们可以根据同时代的人所留下的记录，来了解该学派的数学成就。其中的某些成果记录在了由杰拉什的尼科马库斯（Nicomachus of Gerasa）于公元1世纪所写的《算术入门》（Introduction to Arithmetic）一书中。这些成果包括与数字的几何属性有关的一些论断，由此可见，毕氏学派把数字和特定的形状联系了起来。
三角形数（Triangular number）是指可以通过下面这样的几何图案来表示的数，这些图案会把由前n个正整数所表示的各行堆积起来：
他们还观察到一个几何现象，即所有的奇数都可以表示成磬折形（gnomon）的图案（gnomon这个词在希腊语中的意思是角尺，此外它也可以指日晷中用来产生投影的日规）：
习题3.1 用几何方法来证明：任何三角形数乘以8再加1，就是正方形数（square number）。
（此问题来自普鲁塔克（Plutarch）的《Platonic Questions》。）
