1.3 数制
之前，我们提到数字计算机处理的是离散信息，并都采用二进制形式表示。计算中的操作数都是二进制数或者是用二进制形式表示的十进制数。字母表中的字母也有相对应的二进制编码。本章的余下内容将介绍二进制、二进制计算以及以后章节会用到的一些二进制编码。对于通用计算机来说，这些内容是非常重要的，它的每个部件都会用到这些知识，当然在某些输入输出设备中还会提及机械操作和模拟（与“数字”相反）电路。
十进制数是人们日常使用的计数法，采用一串数字来表示数的大小，其中每个数字根据它所在的位置而具有不同的权重，这些权重是10的幂。例如，十进制数724.5包含有7个100、2个10、4个1以及5个10分之1，其中的百位、十位、个位、十分位就是每个数字的权位，其权重大小是10的幂。整个十进制数的大小可以这样计算：
724.5＝7×102＋2×101＋4×100＋5×10-1
这种数字表示方法只需要知道每位数字以及其对应的权位。一般而言，一个有n位整数m位小数的十进制数可以用如下系数形式表示：
An-1 An-2 …A1 A0. A-1 A-2…A-m+1 A-m
其中每一个系数Ai都是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中的一个，下标i表示该系数的权位，其权重就是10i。
十进制数的基底（base或radix）是10，因为系统中采用了10个不同的数字，数字权位的权重是10的幂。一般而言，一个基底为r的进制系统使用r个不同的数字：0，1，2，…，r，并可以用如下r的不同次幂的多项式表示：
An-1 rn-1＋An-2 rn-2＋…A1 r1＋A0 r0＋A-1 r-1＋A-2 rn-2＋…A-m+1 r-m+1 A-m r-m
采用按位计数法来表示数字时，只需要将多项式的各项系数以及小数点写成如下形式即可：
An-1 An-2 …A1 A0. A-1 A-2…A-m+1 A-m
通常，“.”为小数点，An-1为最高有效位（most significant digit，msd），A-m为最低有效位（least significant digit，lsd）。当m＝0时，最低有效位A-0＝A0。为了能清晰地区分数字的进制，通常用小括号将系数括起来，并在括号的右下方用一个下标数字提示本数字的进制。当然，如果从上下文能清楚地知道数字的进制，那么这个括号也可以不要。下面是一个n为3，m为1的五进制数以及其转换为十进制形式的例子。
(312.4)5＝3×52＋1×51＋2×50＋4×5-1＝75＋5＋2＋0.8＝(82.8)10
注意，所有没有特意说明进制的数字都是按十进制进行计算的。在五进制系统中，只能使用5个数字，因此系数的值只能是0、1、2、3或4。
我们还可以采用另一种计算步骤较少的方法进行进制转换，这种方法基于一连串的幂因子分解。
(...((An-1r＋An-2)r＋(An-3)r＋...＋A1)r＋A0
＋(A-1＋(A-2＋(A-3＋...＋(A-m+2＋(A-m+1＋A-mr-1)r-1)r-1…)r-1)r-1)r-1
对于上面的例子，我们有：
(312.4)5＝((3×5＋1)×5)＋2＋4×5-1＝16×5＋2＋0.8＝(82.8)10
除了十进制，在计算机系统中还有3种常用的进制：二进制、八进制以及十六进制，它们的基底分别为2、8和16。
1.3.1 二进制
二进制数字系统的基底为2，数字只有两个：0和1。一个二进制数，比如11010.11是由一串1和0来表示的，如果是小数，则还有一个小数点。二进制数转化为十进制形式很容易，只需将二进制数字按2的幂级数形式展开即可，例如，
(11010)2＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝(26)10
前面我们提到过，二进制数字中的每一个数称为一位（bit）。当某一位为0，即表示这一位在转换求和的过程中没有任何贡献。所以，将二进制数转化为十进制的形式只需要将所有值为1的位所对应的2的指数值相加即可，例如，
(11010.11)2＝32＋16＋4＋1＋0.5＋0.25＝(53.75)10
表1-2列出了2的前24个指数值。在数字系统中我们常称210为1 K，220为1 M，230为1 G，240为1 T。这样，
4 K＝22×210＝212＝4096 16 M＝24×220＝224＝16 777 216
但这种惯用法也会有变化，比如现在人们也常用K、M、G和T分别表示103、106、109和1012。所以遇见K、M、G和T时，我们必须谨慎地理解它们代表的数字大小。
将十进制数变换成二进制数，可以采用一种很方便的方法：将十进制数不断地减去2的指数值。对于一个十进制数N，我们先将N减去一个比它小的2的最大指数值（见表1-2），剩余的数称为N1，我们再将N1减去比它小的2的最大指数值，剩余的数称为N2，一直持续下去，直到剩余的数为0。这样，一个十进制数就可以转换为若干2的指数项，其二进制形式由2的一系列指数项的系数组合形成，这些系数为1或者为0，如果某一个2的指数项用作减数，则其系数为1，否则为0。 这种方法可以用这样一个实际的例子来说明，将625转换成二进制数：
625―512＝113＝N1 512＝29
113―64＝49＝N2 64＝26
49―32＝17＝N3 512＝25 17―16＝1＝N4 16＝24
1―1＝0＝N5 1＝20
(625)10＝29＋26＋25＋24＋20＝(1001110001)2
1.3.2 八进制与十六进制
前面我们提到，所有的计算机与数字系统采用的都是二进制形式。而八进制（基底为8）和十六进制（基底为16）也可以很方便地表示二进制量，因为它们的基底是2的倍数。因为8＝23、16＝24，所以一个八进制位相当于3个二进制位，一个十六进制位相当于4个二进制位。
用八进制与十六进制表示二进制量，形式上更紧凑，使用起来更方便，二进制位串的长度是八进制或十六进制位串长度的3倍或4倍。所以，大多数计算机手册采用八进制或十六进制来表示二进制量。例如，只需用5个八进制位就可表示一个15位长的二进制串，一个16位的二进制串只需4个十六进制位表示即可。至于是选用八进制还是十六进制，则没有硬性规定，在实际中十六进制的使用更普遍，因为在数字系统中二进制位串通常是4的整倍数长。
八进制的基底为8，数字有8个：0、1、2、3、4、5、6、7。假设一个八进制数为127.4，要求它的十进制形式，只要将它按8的幂级数的形式展开即可：
(127.4)8＝1×82＋2×81＋7×80＋4×8-1＝(87.5)10
在八进制中没有数字8和9。
在一个基底为r的进制系统中，如果r小于10，一般采用十进制中从0开始的前r个数字；如果r大于或等于10，就选用英文字母来表示大于10的数字。在十六进制中，前10个数字都来自于十进制，而字母A、B、C、D、E、F则分别用于表示10、11、12、13、14、15，例如下面这个十六进制数：
(B65F)16＝1×163＋6×162＋5×161＋15×160＝(46687)10
表1-3列出十进制、二进制、八进制和十六进制的前16个数字。注意，二进制串按一种规定的模式组成，最低有效位表示0或1，第2有效位表示0或2，第3有效位表示0或4，最高有效位表示0或8。
将二进制转换为八进制非常容易，只需从小数点开始，向左或向右，将二进制位按3位分成一组，然后将每一组用相应大小的八进制数字表示即可。下面就是这种转换过程的演示：
每组二进制位所对应的八进制数字可以从表1-3中查到。如果小数点左方二进制位的长度不是3的倍数，则可在最高位补0，更重要的是，如果小数点右方二进制位的长度不是3的倍数，则必须在最右方补0，这样才会得到正确的转换结果。
将二进制转换为十六进制方法类似，只不过是将二进制串从小数点开始每4位为一组。上面例子中的二进制数转换为十六进制就是：
(010 1100 0110 011.1111 0000 0110)2＝(2C6B.F06)16
同样，每组二进制位所对应的十六进制数也可从表1-3中查到。
将八进制数与十六进制数转换为二进制数，正好是以上方法的逆过程。每一个八进制数位可转换成所对应的3个二进制位，多余的0则可去掉。同样，每一个十六进制数位可转换为所对应的4个二进制位。例子如下：
(673.12)8＝110 111 011.001 010＝(110111011.001010)2
(3A6.C)16＝0011 1010 0110.1100＝(1110100110.1100)2
1.3.3 数字范围
数字计算机所能表示的数字范围，受到负责信息存储与处理的硬件结构的二进制位个数的限制。通常硬件结构的二进制位个数是2的幂数，比如8、16、32或64。因为受硬件结构的限制，二进制位个数是固定的，所以用固定的二进制位数表示某个数时，没用到的最左前或最右后的二进制位必须置为0，这样，所能表示的数字范围也就是固定的了。
例如，在一个可处理16位无符号整数的计算机中，数字537的二进制表示形式是0000001000011001。这种形式的数能表示的整数范围为0～216―1，也就是从0～65 535。在这台计算机中，对于无符号纯小数，比如0.375，它的二进制表示形式为0.0110000000000000，所能表示的小数范围是0～(216―1)/216，也就是0～0.999 984 741 2。
在以后的章节中，我们还会学习定点小数、有符号数的范围和浮点数。在这些数中，某些二进制位用于表示其他信息，所形成的数字就不是简单的整数和小数了。
