在上一篇，我们讲了工业界中，倒排索引是怎么利用基础的数据结构来加速「求交集」过程的。现在，相信你已经对跳表、哈希表和位图的实际使用，有了更深刻的理解和认识了。然而，在日常的检索中，我们往往会面临更复杂的联合查询需求。这个时候，又该如何加速呢？
我们先来看一个例子：在一个系统的倒排索引中，有 4 个不同的 key，分别记录着「北京」「上海」「安卓」「学生」，这些标签分别对应着 4 种人群列表。如果想分析用户的特点，我们需要根据不同的标签来选择不同的人群。这个时候，我们可能会有以下的联合查询方式：
- 在「北京」或在「上海」，并且使用「安卓」的用户集合。抽象成联合查询表达式就是，（北京 ∪ 上海）∩ 安卓；
- 在「北京」使用「安卓」，并且是「学生」的用户集合。抽象成联合查询表达式就是，北京 ∩ 安卓 ∩ 学生。
这只是 2 个比较有代表性的联合查询方式，实际上，联合查询的组合表达可以更长、更复杂。对于联合查询，在工业界中有许多加速检索的研究和方法，比如，调整次序法、快速多路归并法、预先组合法和缓存法。今天，我们就来聊一聊这四种加速方法。
方法一：调整次序法
首先，我们来看调整次序法。那什么是调整次序法呢？接下来，我们就以三个集合的联合查询为例，来一起分析一下。这里我再多说一句，虽然这次讲的是三个集合，但是对于多个集合，我们也是采用同样的处理方法。
假设，这里有 A、B、C 三个集合，集合中的元素个数分别为 2、20、40，而且 A 包含在 B 内，B 包含在 C 内。这里我先补充一点，如果两个集合分别有 m 个元素和 n 个元素，那使用普通的遍历归并合并它们的时间代价为 O(m+n)。接着，如果我们要对 A、B、C 求交集，这个时候，会有几种不同的求交集次序，比如，A∩（B∩C）、（A∩B）∩C 等。那我们该如何选择求交集的次序呢？下面，我们就以这两种求交集次序为例来分析一下，不同的求交集次序对检索效率的影响。
当求交集次序是 A∩（B∩C）时，我们要先对 B 和 C 求交集，时间代价就是 20+40 = 60，得到的结果集是 B，然后 B 再和 A 求交集，时间代价是 2 + 20 = 22。因此，最终一共的时间代价就是 60 + 22 = 82。
那当求交集次序是（A∩B）∩C 时，我们要先对 A 和 B 求交集，时间代价是 2 + 20 = 22，得到的结果集是 A，然后 A 再和 C 求交集，时间代价是 2 + 40 = 42。因此，最终的时间代价就是 22 + 42 = 64。这比之前的代价要小得多。
除了对 A、B、C 这三个集合同时取交集以外，还有一种常见的联合查询方式，就是对其中两个集合取并集之后，再和第三个集合取交集，比如 A ∩（B∪C），你可以看我开头举的第一个例子。在这种情况下，如果我们不做任何优化，查询代价是怎么样的呢？让我们一起来看一下。
首先是执行 B∪C 的操作，时间代价是 20 + 40 = 60，结果是 C。然后再和 A 求交集，时间代价是 2+40 = 42。一共是 102。
这样的时间代价非常大，那针对这个查询过程我们还可以怎么优化呢？这种情况下，我们可以尝试使用数学公式，对先求并集再求交集的次序进行改造，我们先来复习一个集合分配律公式：
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
然后，我们就可以把先求并集再求交集的操作，转为先求交集再求并集的操作了。那这个时候，查询的时间代价是多少呢？我们一起来看一下。
首先，我们要执行 A∩B 操作，时间代价是 2+20 = 22，结果是 A。然后，我们执行 A∩C 操作，时间代价是 2+40=42，结果也是 A。最后，我们对两个 A 求并集，时间代价是 2+2=4。因此，最终总的时间代价是 22 + 42 + 4 = 68。这比没有优化前的 102 要低得多。
这里有一点需要特别注意，如果求并集的元素很多，比如说（B∪C∪D∪E∪F），那我们用分配律改写的时候，A 就需要分别和 B 到 F 求 5 次交集，再将 5 个结果求并集。这样一来，操作的次数会多很多，性能就有可能下降。因此，我们需要先检查 B 到 F 每个集合的大小，比如说，如果集合中元素个数都明显大于 A，我们预测它们分别和 A 求交集能有提速的效果，那我们就可以使用集合分配律公式来加速检索。
不知道你有没有注意到，在一开始讲这两个例子的时候，我们假设了 A、Ｂ、Ｃ有相互包含的关系，这是为了方便你更好地理解调整操作次序带来的效率差异。那在真实情况中，集合中的关系不会这么理想，但是我们分析得到的结论，依然是有效的。
求交集：就是在每个集合中都存在的元素留下来，笔者看完，感觉就是从小集合往大集合开始求交集是最快的，因为交集最多元素个数也就是小集合的个数
方法二：快速多路归并法
但是，调整次序法有一个前提，就是 集合的大小要有一定的差异，这样的调整效果才会更明显。那如果我们要对多个 posting list 求交集，但是它们的长度差异并不大，这又该如何优化呢？这个时候，我们可以使用跳表法来优化。
在对多个 posting list 求交集的过程中，我们可以 利用跳表的性质，快速跳过多个元素，加快多路归并的效率。这种方法，我叫它 快速多路归并法。在一些搜索引擎和广告引擎中，包括在 Elastic Search 这类框架里，就都使用了这样的技术。那具体是怎么做的呢？我们一起来看一下。
其实，快速多路归并法的思路和实现都非常简单，就是将 n 个链表的当前元素看作一个 有序循环数组 list[n]。并且，对有序循环数组从小到大依次处理，当有序循环数组中的 最小值等于最大值，也就是所有元素都相等时，就说明我们找到了公共元素。
这么说可能比较抽象，下面，我们就以 4 个链表 A、B、C、D 求交集为例，来讲一讲具体的实现步骤。
- 第 1 步，将 4 个链表的当前第一个元素取出，让它们按照由小到大的顺序进行排序。然后，将链表也按照由小到大有序排列；
- 第 2 步，用一个变量 max 记录当前 4 个链表头中最大的一个元素的值；
- 第 3 步，从第一个链表开始，判断当前位置的值是否和 max 相等。如果等于 max，则说明此时所有链表的当前元素都相等，该元素为公共元素，那我们就将该元素取出，然后回到第一步；如果当前位置的值小于 max，则用 跳表法 快速调整到该链表中 第一个大于等于 max 的元素位置；如果新位置元素的值大于 max，则更新 max 的值。
- 第 4 步，对下一个链表重复第 3 步，就这样依次处理每个链表（处理完第四个链表后循环回到第一个链表，用循环数组实现），直到链表全部遍历完。
为了帮助你加深理解，我在下面的过程图中加了一个具体的例子，你可以对照前面的文字描述一起消化吸收。
上图的例子中，我们通过以上 4 个步骤，找到了公共元素 6。接下来，你可以试着继续用这个方法，去找下一个公共元素 11。这里，我就不再继续举例了。
方法三：预先组合法
接下来，我们来说一说第三种方法，预先组合法。其实预先组合法的核心原理，和我们熟悉的一个系统实现理念一样，就是能 提前计算好 的，就不要临时计算。换一句话说，对于常见的联合查询，我们可以提前将结果算好，并将该联合查询定义一个 key。那具体该怎么操作呢？
假设，key1、key2 和 key3 分别的查询结果是 A、B、C 三个集合。如果我们经常会计算 A∩B∩C，那我们就可以将 key1+key2+key3 这个查询定义为一个新的组合 key，然后对应的 posting list 就是提前计算好的结果。之后，当我们要计算 A∩B∩C 时，直接去查询这个组合 key，取出对应的 posting list 就可以了。
方法四：缓存法加速联合查询
预先组合的方法非常实用，但是在搜索引擎以及一些具有热搜功能的平台中，经常会出现一些最新的查询组合。这些查询组合请求量也很大，但是由于之前没有出现过，因此我们无法使用预先组合的方案来优化。这个时候，我们会使用 缓存技术 来优化。
那什么是缓存技术呢？缓存技术就是指将之前的联合查询结果保存下来。这样再出现同样的查询时，我们就不需要重复计算了，而是直接取出之前缓存的结果即可。这里，我们可以借助预先组合法的优化思路，为每一个联合查询定义一个新的 key，将结果作为这个 key 的 posting list 保存下来。
但是，我们还要考虑一个问题：内存空间是有限的，不可能无限缓存所有出现过的查询组合。因此，对于缓存，我们需要进行内容替换管理。一种常用的缓存管理技术是 LRU（Least Recently Used），也叫作 最近最少使用替换机制。所谓最近最少使用替换机制，就是如果一个对象长期未被访问，那当缓存满时，它将会被替换。
对于最近最少使用替换机制，一个合适的实现方案是使用 双向链表：当一个元素被访问时，将它提到链表头。这个简单的机制能起到的效果是：如果一个元素经常被访问，它就会经常被往前提；如果一个元素长时间未被访问，它渐渐就会被排到链表尾。这样一来，当缓存满时，我们直接删除链表尾的元素即可。
不过，我们希望 能快速查询缓存，那链表的访问速度就不满足我们的需求了。因此，我们可以使用 O(1) 查询代价的哈希表来优化。我们向链表中插入元素时，同时向哈希表中插入该元素的 key，然后这个 key 对应的 value 则是链表中这个节点的地址。这样，我们在查询这个 key 的时候，就可以通过查询哈希表，快速找到链表中的对应节点了。因此，使用 双向链表 + 哈希表 是一种常见的实现 LRU 机制的方案。
使用双向链表 + 哈希表实现 LRU 机制
通过使用 LRU 缓存机制，我们就可以将临时的查询组合缓存起来，快速查询出结果，而不需要重复计算了。一旦这个查询组合不是热点了，那它就会被 LRU 机制替换出缓存区，让位给新的热点查询组合。
缓存法在许多高并发的查询场景中，会起到相当大的作用。比如说在搜索引擎中，对于一些特定时段的热门查询，缓存命中率能达到 60% 以上甚至更高，会大大加速系统的检索效率。
