心得经验总结：概率论与数理统计复习

第0章 难点理解

详解最大似然估计（MLE）、最大后验概率估计（MAP），以及贝叶斯公式的理解

极大似然估计：

极大似然估计和贝叶斯估计的区别（挺好）：

概率和统计是一个东西吗？

概率（probabilty）和统计（statistics）看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。

概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性（例如均值，方差，协方差等等）。 举个例子，我想研究怎么养猪（模型是猪），我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等（选择参数），我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样（预测结果）。

统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉（这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等），然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等（推测模型参数）。

一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

显然，本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题，是很常用的两种参数估计方法。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢？ 这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。

贝叶斯公式到底在说什么？

把B展开，可以写成：

补充：AB表示同时发生.AB拔表示A发生,B不发生.所以,只要A发生,只有两种情况,就是B发生,B不发生,也就是A发生的概率等于A发生,B不发生的概率+AB同时发生的概率.所以P(AB)+P(AB拔)=P(A)

　　想想这个情况。一辆汽车（或者电瓶车）的警报响了，你通常是什么反应？有小偷？撞车了？ 不。。 你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了！每天都要发生好多次。本来，汽车警报设置的功能是，出现了异常情况，需要人关注。然而，由于虚警实在是太多，人们渐渐不相信警报的功能了。

　　贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）

我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把A计作“汽车被砸了”，B计作“警报响了”，带进贝叶斯公式里看。

左侧：我们想求等//代码效果参考：http://www.zidongmutanji.com/bxxx/456758.html

右侧：汽车被砸引起（trigger）警报响，即B ∣ A 。但是，也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（统统计作 ~A ），其他原因引起汽车警报响了，即 B ∣ ~ A 。

　　那么，现在突然听见警报响了，这时汽车已经被砸了的概率是多少呢（这即是说，警报响这个证据有了，多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了？）？

　　想一想，应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量 P(AB），除以响警报事件的数量 P(B） （这即【式1】）。

　　进一步展开，即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量，除以警报响起、汽车被砸了的事件数量 加上 警报响起、汽车没被砸的事件数量（这即【式2】）。

可能有点绕，请稍稍想一想。

　　再思考【式2】。想让P ( A ∣ B ) = 1 ，即警报响了，汽车一定被砸了，该怎么做呢？让 P(B|~ A)P(~ A) = 0 即 可 。 很容易想清楚，假若让P(~ A) = 0，即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况，那自然，警报响了，只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。

　　从这个角度总结贝叶斯公式：做判断的时候，要考虑所有的因素。 老板骂你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出门前和太太吵了一架。

　　再思考【式2】。观察【式2】右边的分子，P ( B ∣ A )为汽车被砸后响警报的概率。姑且仍为这是1吧。但是，若P ( A ) 很小，即汽车被砸的概率本身就很小，则P ( B ∣ A ) P ( A ) 仍然很小，即【式2】右边分子仍然很小，P(A | B) 还是大不起来。 这里，?P ( A ) 即是常说的先验概率（如果A的先验概率P(A）很小），就算P ( B ∣ A )较大，可能A的后验概率P ( A ∣ B )还是不会大（假设P ( B ∣ ～ A ) P ( ～ A ) 不变的情况下）。

　　从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。 发现刚才写的代码编译报错，可是我今天状态特别好，这语言我也很熟悉，犯错的概率很低。因此觉得是编译器出错了。 ————别，还是先再检查下自己的代码吧。

似然函数

似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典这么解释：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。

对于这个函数：P ( x ∣ θ )

输入有两个：x表示某一个具体的数据；θ 表示模型的参数。

如果θ 是已知确定的，x 是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。

如果x 是已知确定的，θ 是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。

这有点像“一菜两吃”的意思。其实这样的形式我们以前也不是没遇到过。例如，f(x, y) = x^y , 即x的y次 方 。如果x是 已 知 确 定 的 (例如是已知确定的(例如x = 2) ，这就是f(y) = 2^y, 这 是 指 数 函 数 。 如果y是 已 知 确 定 的(例如y = 2) ，这就是f(x) = x^2，这是二次函数。同一个数学形式，从不同的变量角度观察，可以有不同的名字。

这么说应该清楚了吧？ 如果还没讲清楚，别急，下文会有具体例子。

现在真要先讲讲MLE了。。

极大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）

假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为θ ）各是多少？

这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？ 数据！

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据（x0 ）是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率θ 是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是 二项分布。

那么，出现实验结果x0（即反正正正正反正正正反）的似然函数是多少呢？

f ( x 0 , θ ) = ( 1 ? θ ) × θ × θ × θ × θ × ( 1 ? θ ) × θ × θ × θ × ( 1 ? θ ) = θ^7 ( 1 ? θ )^3 = f ( θ )

注意，这是个只关于θ 的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出f ( θ ) 的图像：

可以看出，在θ = 0.7时，似然函数取得最大值。

这样，我们已经完成了对θ 的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm…这非常直观合理，对吧？）

且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！ 就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信θ = 0.7。

这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。 为此，引入了最大后验概率估计。

例题

假设一批电池的寿命符合高斯分布，概率密度就上面这个式子吧：

σ，μ >0均为未知参数，从这批电池中随机抽取3件进行寿命实验，失效时间分别是4，5，7

求σ，μ的最大似然估计。

首先我们每个数据点都是独立于其他数据点生成的。如果事件（即电池寿命测试）是独立的，那么观察所有数据的总概率就是单独观察到每个数据点的概率的乘积（即边缘概率的乘积）

1.写出样本联合概率密度方程：

只要求使得L(μ,σ)取最大值的μ,σ就好了。。

但是上面的函数求起来非常的困难，所以我们转换为对数似然函数

2.对数似然函数如下：

接下来就是我们熟悉的二元方程求极值的问题了，考研必考~

3.先找平均值 μ，我们对函数求 μ 的偏导：

解得μ = 5.333 = （4+5+7)/3

同理：找σ^2 对函数求σ的偏导：

然后把μ代入求σ即可~

解得σ = 1.85 , σ^2 = (1/m)∑(x^(i) - μ )^2 =

想一想高斯分布的图形就明白了，似然方程一定是唯一解，而且一定是最大值~

最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）

　最大似然估计是求参数θ , 使似然函数P(x0 | θ) 最 大 （x0是确定的）。

　最大后验概率估计则是想求θ ，使P(x0 | θ ) P(θ)最 大 。求得的θ 不单单让似然函数P(x0 | θ)大，θ 自己出现的 先验概率P (θ)也得大。 （这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）

　　MAP其实是在最大化 P(θ | x0) = P(x0 | θ) P(θ) / P(x0)；不过因为x0是确定的（即投出的“反正正正正反正正正反”），所以去掉了分母P(x0)?（假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了n次，则P ( x 0 ) = n / 1000 。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。

　　最大化P ( θ ∣ x0 ) 的意义也很明确，x0 已经出现了，要求θ取什么值使P ( θ ∣ x 0 ) 最大。顺带一提，P ( θ ∣ x 0 ) 即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。

　　对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“）θ 取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设P ( θ ) 为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：

则P ( x0 ∣ θ ) P ( θ )的函数图像为：

　　注意，此时函数取最大值时，θ 取值已向左偏移，不再是0.7。实际上，在θ = 0.558 时函数取得了最大值。即，用最大后验概率估计，得到θ = 0.558

　　最后，那要怎样才能说服一个贝叶斯派相信θ = 0.7 呢？你得多做点实验。。如果做了1000次实验，其中700次都是正面向上，这时似然函数为:

如果仍然假设P ( θ ) 为均值0.5，方差0.1的高斯函数，P ( x0 ∣ θ ) P ( θ ) 的函数图像为：

在θ = 0.696 处，P ( x0 ∣ θ ) P ( θ ) 取得最大值。

这样，就算一个考虑了先验概率的贝叶斯派，也不得不承认得把 θ 估计在0.7附近了。

PS. 要是遇上了顽固的贝叶斯派，认为P ( θ = 0.5 ) = 1 ，那就没得玩了。。 无论怎么做实验，使用MAP估计出来都是θ = 0.5 。这也说明，一个合理的先验概率假设是很重要的。（通常，先验概率能从数据中直接分析得到）

最大似然估计和最大后验概率估计的区别？？

相信读完上文，MLE（极大似然估计）和MAP（最大后验估计）的区别应该是很清楚的了。MAP就是多个作为因子的先验概率P ( θ )。或者，也可以反过来，认为MLE是把先验概率P ( θ ) 认为等于1，即认为θ 是均匀分布。

极大似然估计和贝叶斯估计的区别

期望和均值的区别

平均值属于《数理统计》的范畴（对观察样本的统计)，期望属于《概率论》的范畴（期望是针对于随机变量而言的一个量，可以理解是一种站在“上帝视角”的值。针对于他的样本空间而言的，是一个数学特征）；期望就是加权平均（以概率为权），平均就是等权均值。

均值，其实是针对实验观察到的特征样本而言的。

比如我们进行掷骰子，掷了六次，点数分别为2，2，2，4，4，4，这六次的观察就是我们的样本，于是我们可以说均值为(2+2+2+4+4+4)/6=3

期望：例子如下图

期望的描述引述陈希孺院士《概率论与数理统计》如下：数学期望常称为“均值”，即“随机变量取值的平均值”之意，当然这个平均，是指以概率为权的加权平均。……数学期望是由随机变量的分布完全决定。

联系：大数定理说明当样本量N趋近无穷大的时候，样本的平均值无限接近数学期望。

大数定律和中心极限定理

第一章 概率论的基本概念

一.基本概念

随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E的每个结果.

随机事件(事件):样本空间S的子集.

必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件.

二.