用途在$O(nlog_n)$复杂度内解决多项式乘法 比$O(N^2)$要优
$A(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$
性质一：可以用n+1个点，表示一个n次多项式
证明用高斯消元，范德蒙行列式满秩唯一解。
点表示法：
如果多项式乘积为：$C(x)=A(x)B(x)$
那么：如果A(x)是n次的，B(x)是m次的，那么我们能用n+m+1个点表示C(x)。
$x_1,x_2,x3.....x{n+m+1}$
A对应的点为：$(x_1,A(x_1)),(x_2,A(x2)....(x{n+m+1},A(x_{n+m+1}))$
B对应的点为：$(x_1,B(x_1)),(x_2,B(x2)....(x{n+m+1},B(x_{n+m+1}))$
我们知道C(x)=A(x)B(x)
那么C对应的点为：$(x_1,A(x_1)B(x_1)),(x_2,A(x_2)B(x2)....(x{n+m+1},A(x{n+m+1})B(x{n+m+1}))$
所以我们可以通过O(n+m)表示出来C(x);
所以我们希望从系数表示法转化成点表示法，在从点表示法转化成系数表示法。
复数
欧拉公式证明：
证明过程参考繁凡博客吧。
https://fanfansann.blog.csdn.net/article/details/112428869
递归版：未运行出来：
///FFT递归版
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
const int N = 300;
struct Complex
{
double x, y;
Complex(double x = 0, double y = 0): x(x), y(y) {
}
} A[N], B[N];
Complex operator * (Complex J, Complex Q)
{
//模长相乘，幅度相加
return Complex(J.x * Q.x - J.y * Q.y, J.x * Q.y + J.y * Q.x);
}
Complex operator - (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x - Q.x, J.y - Q.y);
}
Complex operator + (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x + Q.x, J.y + Q.y);
}
void FFT(int limit, Complex *a, int type)
{
if(limit == 1) return ;//常数项
Complex a1[limit / 2], a2[limit / 2]; //分成两端，左右两端平分
for(int i = 0; i <= limit; i += 2) //偶数项,奇数项
{
a1[i / 2] = a[i];
a2[i / 2] = a[i + 1];
}
FFT(limit / 2, a1, type);
FFT(limit / 2, a2, type);
Complex tmp = Complex(cos(2.0 * pi / limit), type * sin(2.0 * pi / limit)), w = Complex(1, 0);
///tmp表示单位根，w表示幂。
for(int i = 0; i < (limit /2); i++, w = w * tmp)
{
a[i] = a1[i] + w * a2[i]; //左加
a[i + limit / 2] = a1[i] - w * a2[i]; //右减
}
}
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i <= n; i++)scanf("%lf", &A[i].x);
for(int i = 0; i <= m; i++)scanf("%lf", &B[i].x);
int limit = 1;
while(limit <= n + m) limit *= 2; //2的整数次幂
FFT(limit, A, 1);
FFT(limit, B, 1);
//后面的1表示要进行的变换是什么类型
// 1表示从系数变为点值
//-1表示从点值变为系数
//这就与推导过程中的 w指数部分正负有关。
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
A[i] = A[i] * B[i];
}
FFT(limit, A, -1);
for(int i = 0;i <= n + m; i++)
{
printf("%d ", (int)(A[i].x / limit + 0.5)); ///对其四舍五入+0.5
}
return 0;
}
迭代版
蝴蝶变换
///迭代版
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e6 + 7;
const double PI = acos(-1);
int n, m;
int limit = 1;
int res, ans[N];
int l;
int r[N];
struct Complex
{
double x, y;
Complex (double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {
}
} a[N], b[N];
Complex operator * (Complex J, Complex Q)
{
//模长相乘，幅度相加
return Complex(J.x * Q.x - J.y * Q.y, J.x * Q.y + J.y * Q.x);
}
Complex operator + (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x + Q.x, J.y + Q.y);
}
Complex operator - (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x - Q.x, J.y - Q.y);
}
void FFT(Complex *A, int type)
{
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]); ///保证不在换过去
}
///从底层开始合并：
for(int mid = 1; mid < limit; mid = mid * 2)
{
///待合并区间长度的一半，最开始是长度为1的合并，类似倍增的思想
Complex wn(cos(PI / mid), type * sin(PI / mid)); //单位根
for(int len = mid *2, pos = 0; pos < limit; pos += len)
{
///len是区间的长度，pos是当前的位置
Complex w(1, 0);
for(int k = 0; k < mid; k++, w = w * wn)
{
///只扫左半部分，蝴蝶变换得到有半部分。
Complex x = A[pos + k]; //左半部分
Complex y = w * A[pos + mid + k]; //右半部分
A[pos + k] = x + y;//左加
A[pos + mid + k] = x - y;///右减
}
}
}
if(type == 1) return ;
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
A[i].x = A[i].x / limit;
A[i].y = A[i].y / limit;///这个版本没用，加不加没影响，优化的版本必须要加
///除以我们推出的N。
}
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i <= n; i++) scanf("%lf", &a[i].x);
for(int j = 0; j <= m; j++) scanf("%lf", &b[j].x);
while(limit <= n + m) limit <<= 1, l++;///求出位数l，和2的整数次幂
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));///蝴蝶变换。
}
FFT(a, 1);
FFT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; ++i)
{
a[i] = a[i] * b[i];
}
FFT(a, -1);
for(int i = 0; i <= m + n; i++)
{
printf("%d ", int(a[i].x + 0.5));
}
return 0;
}
优化：三步变两步：
设a和b是实多项式，$F=a+bi$则$F^2=a^2-b^2+2abi$ ，注意我们要求的是F虚部的一半，这样我们通过两次FFT就可以求出结果了，
所以我们可以把$b(x)$放到a(x)的虚部，求出$a(x)^2$然后取出a(x)虚部除以2就是答案。
///优化版
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e6 + 7;
const double PI = acos(-1);
int n, m;
int limit = 1;
int res, ans[N];
int l;
int r[N];
struct Complex
{
double x, y;
Complex (double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {
}
} a[N], b[N];
Complex operator * (Complex J, Complex Q)
{
//模长相乘，幅度相加
return Complex(J.x * Q.x - J.y * Q.y, J.x * Q.y + J.y * Q.x);
}
Complex operator + (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x + Q.x, J.y + Q.y);
}
Complex operator - (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x - Q.x, J.y - Q.y);
}
void FFT(Complex *A, int type)
{
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]); ///保证不在换过去
}
///从底层开始合并：
for(int mid = 1; mid < limit; mid = mid * 2)
{
///待合并区间长度的一半，最开始是长度为1的合并，类似倍增的思想
Complex wn(cos(PI / mid), type * sin(PI / mid)); //单位根
for(int len = mid *2, pos = 0; pos < limit; pos += len)
{
///len是区间的长度，pos是当前的位置
Complex w(1, 0);
for(int k = 0; k < mid; k++, w = w * wn)
{
///只扫左半部分，蝴蝶变换得到有半部分。
Complex x = A[pos + k]; //左半部分
Complex y = w * A[pos + mid + k]; //有半部分
A[pos + k] = x + y;
A[pos + mid + k] = x - y;
}
}
}
if(type == 1) return ;
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
A[i].x = A[i].x / limit;
A[i].y = A[i].y / limit;
///除以我们推出的N。
}
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i <= n; i++) scanf("%lf", &a[i].x);
for(int j = 0; j <= m; j++) scanf("%lf", &a[j].y);
while(limit <= n + m) limit <<= 1, l++;
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
}
FFT(a, 1);
///FFT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; ++i)
{
a[i] = a[i] * a[i];
}
FFT(a, -1);
for(int i = 0; i <= m + n; i++)
{
printf("%d ", int(a[i].y/2 + 0.5));
}
return 0;
}
例题：P1919 【模板】FFT快速傅里叶变换
///优化版
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e6 + 7;
const double PI = acos(-1);
int n, m;
int limit = 1;
int res, ans[N];
int l;
int r[N];
struct Complex
{
double x, y;
Complex (double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {
}
} a[N], b[N];
Complex operator * (Complex J, Complex Q)
{
//模长相乘，幅度相加
return Complex(J.x * Q.x - J.y * Q.y, J.x * Q.y + J.y * Q.x);
}
Complex operator + (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x + Q.x, J.y + Q.y);
}
Complex operator - (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x - Q.x, J.y - Q.y);
}
void FFT(Complex *A, int type)
{
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]); ///保证不在换过去
}
///从底层开始合并：
for(int mid = 1; mid < limit; mid = mid * 2)
{
///待合并区间长度的一半，最开始是长度为1的合并，类似倍增的思想
Complex wn(cos(PI / mid), type * sin(PI / mid)); //单位根
for(int len = mid * 2, pos = 0; pos < limit; pos += len)
{
///len是区间的长度，pos是当前的位置
Complex w(1, 0);
for(int k = 0; k < mid; k++, w = w * wn)
{
///只扫左半部分，蝴蝶变换得到有半部分。
Complex x = A[pos + k]; //左半部分
Complex y = w * A[pos + mid + k]; //有半部分
A[pos + k] = x + y;
A[pos + mid + k] = x - y;
}
}
}
if(type == 1) return ;
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
ans[i] += (int)(A[i].y / limit/2 + 0.5);
if(ans[i] >= 10) ///考虑进位问题。
{
ans[i + 1] = ans[i] / 10;
ans[i] %= 10;
limit += (i == limit); ///进位
}
///除以我们推出的N。
}
}
string str, s;
int main()
{
cin >> str >> s;
n = str.size();
m = s.size();
int cnt, tot;
cnt = tot = 0;
for(int i = n - 1; i >= 0; i--) a[cnt++].x = str[i] - '0';
for(int i = m - 1; i >= 0; i--) a[tot++].y = s[i] - '0';
while(limit < n + m) limit <<= 1, l++;
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
}
FFT(a, 1);
///FFT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; ++i)
{
a[i] = a[i] * a[i];
}
FFT(a, -1);
while(!ans[limit] && limit >= 1) limit--; ///去除前导0
limit++;
while(--limit >= 0)
{
cout << ans[limit];
}
return 0;
}
正常版。
//正常的
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e6 + 7;
const double PI = acos(-1);
int n, m;
int limit = 1;
int res, ans[N];
int l;
int r[N];
struct Complex
{
double x, y;
Complex (double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {
}
} a[N], b[N];
Complex operator * (Complex J, Complex Q)
{
//模长相乘，幅度相加
return Complex(J.x * Q.x - J.y * Q.y, J.x * Q.y + J.y * Q.x);
}
Complex operator + (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x + Q.x, J.y + Q.y);
}
Complex operator - (Complex J, Complex Q)
{
return Complex(J.x - Q.x, J.y - Q.y);
}
void FFT(Complex *A, int type)
{
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]); ///保证不在换过去
}
///从底层开始合并：
for(int mid = 1; mid < limit; mid = mid * 2)
{
///待合并区间长度的一半，最开始是长度为1的合并，类似倍增的思想
Complex wn(cos(PI / mid), type * sin(PI / mid)); //单位根
for(int len = mid * 2, pos = 0; pos < limit; pos += len)
{
///len是区间的长度，pos是当前的位置
Complex w(1, 0);
for(int k = 0; k < mid; k++, w = w * wn)
{
///只扫左半部分，蝴蝶变换得到有半部分。
Complex x = A[pos + k]; //左半部分
Complex y = w * A[pos + mid + k]; //有半部分
A[pos + k] = x + y;
A[pos + mid + k] = x - y;
}
}
}
if(type == 1) return ;
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
ans[i] += (int)(A[i].x / limit + 0.5);
if(ans[i] >= 10) ///考虑进位问题。
{
ans[i + 1] = ans[i] / 10;
ans[i] %= 10;
limit += (i == limit); ///进位
}
///除以我们推出的N。
}
}
string str, s;
int main()
{
cin >> str >> s;
n = str.size();
m = s.size();
int cnt, tot;
cnt = tot = 0;
for(int i = n - 1; i >= 0; i--) a[cnt++].x = str[i] - '0';
for(int i = m - 1; i >= 0; i--) b[tot++].x = s[i] - '0';
while(limit < n + m) limit <<= 1, l++;
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
}
FFT(a, 1);
FFT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; ++i)
{
a[i] = a[i] * b[i];
}
FFT(a, -1);
while(!ans[limit] && limit >= 1) limit--; ///去除前导0
limit++;
while(--limit>=0)
{
cout << ans[limit];
}
return 0;
}
P3338 [ZJOI2014]力
先放上，防止自己咕咕咕
https://fanfansann.blog.csdn.net/article/details/114222970
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P3338
题意：
n个数
$q_1,q_2,...q_n$定义
$Fj = \sum{i=1}^{j−1}\frac{q_i×qj}{(i−j)^2} − \sum{i=j+1}^n\frac{q_i×q_j}{(i−j)^2}$
$E_i~=~\frac{F_i}{q_i}$
让求$E_i$
-
快速数论变换 (NTT)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 5e6 + 7;
const double PI = acos(-1);
const int p = 998244353, G = 3, Gi = 332748118;
int n, m;
int limit = 1;
int res, ans[N];
int l;
int r[N];
ll a[N], b[N];
ll qpow(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while(b)
{
if(b & 1) ans = ans * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return ans;
}
void NTT(ll *A, int type)
{
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]); ///保证不在换过去
}
///从底层开始合并：
for(int mid = 1; mid < limit; mid = mid * 2)
{
///待合并区间长度的一半，最开始是长度为1的合并，类似倍增的思想
ll wn = qpow(G, (p - 1) / (mid * 2));
if(type==-1) wn = qpow(wn, p - 2);
for(int len = mid * 2, pos = 0; pos < limit; pos += len)
{
///len是区间的长度，pos是当前的位置
ll w = 1;
for(int k = 0; k < mid; k++, w = w * wn % p)
{
///只扫左半部分，蝴蝶变换得到有半部分。
int x = A[pos + k]; //左半部分
int y = w * A[pos + mid + k] % p; //有半部分
A[pos + k] = (x + y) % p;
A[pos + mid + k] = (x - y + p) % p;
}
}
}
if(type == 1) return ;
ll inlimit = qpow(limit, p - 2);
for(int i = 0; i < limit; i++)
{
A[i] = (A[i] * inlimit) % p;
///除以我们推出的N。
}
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i <= n; i++) cin >> a[i], a[i] = (a[i] + p) % p;
for(int i = 0; i <= m; i++) cin >> b[i], b[i] = (b[i] + p) % p;
while(limit <= n + m) limit <<= 1, l++;
for(int i = 0; i <= limit; i++)
{
r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
}
NTT(a, 1);
NTT(b, 1);
for(int i = 0; i <= limit; ++i)
{
a[i] = a[i] * b[i] % p;
}
NTT(a, -1);
for(int i = 0; i <= n + m; i++) cout << a[i] << " ";
return 0;
}
