二项分布
简介
二项分布是一种离散概率分布，用于描述在固定次数的独立试验中，事件“成功”的次数的概率分布。它通常用于分析诸如抛硬币、做选择题等具有两个结果（成功或失败）的事件。
参数
二项分布用三个参数来定义：
n：试验次数，表示重复相同实验的次数。
p：每次试验中成功事件发生的概率。
k：成功事件发生的次数，范围为 0 到 n。
公式
二项分布的概率质量函数 (PMF) 给出了在 n 次试验中恰好获得 k 次成功的概率，计算公式为：
P(k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k)
其中：
C(n, k) 是组合数，表示从 n 个元素中选取 k 个元素的方案数。
p^k 表示 k 次成功的概率。
(1 - p)^(n - k) 表示 n - k 次失败的概率。
生成二项分布数据
NumPy 提供了 random.binomial() 函数来生成服从二项分布的随机数。该函数接受以下参数：
n：试验次数。
p：每次试验中成功事件发生的概率。
size：输出数组的形状。
示例：生成 10 次试验中，每次成功概率为 0.5 的事件的成功次数：
import numpy as np data = np.random.binomial(n=10, p=0.5, size=10) print(data)
可视化二项分布
Seaborn 库提供了便捷的函数来可视化分布，包括二项分布。
示例：绘制 100 次试验中，每次成功概率为 0.6 的事件的成功次数分布：
import seaborn as sns import numpy as np data = np.random.binomial(n=100, p=0.6, size=1000) sns.distplot(data) plt.show()
正态分布与二项分布的关系
当试验次数 n 很大，成功概率 p 接近 0.5 时，二项分布可以近似为正态分布。其均值 μ 为 np，标准差 σ 为 sqrt(np(1 - p))。
示例：比较二项分布和正态分布的形状：
import seaborn as sns import numpy as np n = 100 p = 0.5 # 生成二项分布数据 data_binomial = np.random.binomial(n=n, p=p, size=1000) # 生成正态分布数据 mu = n p sigma = np.sqrt(n p (1 - p)) data_normal = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=1000) sns.distplot(data_binomial, label="Binomial") sns.distplot(data_normal, label="Normal") plt.legend() plt.show()
练习
- 在 50 次试验中，每次成功概率为 0.2 的事件，模拟成功次数并绘制分布图。
- 比较不同试验次数下二项分布形状的变化。
- 利用二项分布来模拟一次 10 道选择题的考试，每题答对的概率为 0.7，并计算平均分和及格率（60 分及格）。
解决方案
import seaborn as sns import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 1. 模拟成功次数并绘制分布图 data = np.random.binomial(n=50, p=0.2, size=1000) sns.distplot(data) plt.show() # 2. 比较不同试验次数下二项分布形状的变化 n_values = [10, 50, 100, 500] for n in n_values: data = np.random.binomial(n=n, p=0.5, size=1000) sns.distplot(data, label=f"n={n}") plt.legend() plt.show() # 3. 模拟考试成绩并计算平均分和及格率 scores
