辗转相除法求最大公约数

1.公式

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

2.粗略证明

a为较大的数，b为较小的数

a mod b = a - ⌊ a / b ⌋ * b = a - c * b

设gcd(a,b)=d ，所以a%d=0,b%d=0

那么 (a+b)%d=0，(ax+by)%d=0，即（a的若干倍+b的若干倍）%d=0。

所以 (a-c*b)%d=0，即(a mob b) % d=0

那么a ，b，a mod b的最大公约数一样，都为d。所以可以将求a和b的最大公约数转化为求b和a mob b的最大公约数，简化了计算。

3.代码

#include <iostream>
using namespace std;
 
int g(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    return g(b, a % b);
}
int main()
{
    int a = 98, b = 64;
    cout << g(a, b);//输出2
}

4.证明

欧几里德算法又称辗转相除法：用于计算两个整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

1）假设d是a,b的一个公约数，则有：d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r，

因此d是(b,a mod b)的公约数

2）假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b ， d|r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数，因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

若b|a, 我们说b是a的一个因子; gcd(a,b)表示a,b的最大公因子。