一、二分查找
1、题目讲解
2、算法原理
a. 定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
b. 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：
i. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid - 1 ，然后重复 2 过程；
iii. arr[mid] < target 说明 [left, mid] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left = mid + 1 ，然后重复 2 过程；
c. 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。
3、代码实现
class Solution { public: int search(vector<int>& nums, int target) { int left=0,right=nums.size()-1; while(left<=right) { int mid=left+(right-left)/2; if(nums[mid]<target) left=mid+1; else if(nums[mid]>target )right=mid-1; else return mid; } return -1; } };
二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
1、题目讲解
2、算法原理
⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找；
⽅便叙述，⽤ x 表⽰该元素， resLeft 表⽰左边界， resRight 表⽰右边界。
寻找左边界思路：
• 寻找左边界：
◦ 我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：
▪ 左边区间 [left, resLeft - 1] 都是⼩于 x 的；
▪ 右边区间（包括左边界） [resLeft, right] 都是⼤于等于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resLeft - 1] 区间的时候，也就是 arr[mid] < target 。说明 [left, mid] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，
继续在 [mid + 1, right] 上寻找左边界；
◦ 当 mid 落在 [resLeft， right] 的区间的时候，也就是 arr[mid] >= target 。
说明 [mid + 1, right] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时
更新 right 到 mid 的位置，继续在 [left, mid] 上寻找左边界；
• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；
注意：这⾥找中间元素需要向下取整。
因为后续移动左右指针的时候：
• 左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
• 右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元
素， left == 1 ， right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的
值没有改变，就会陷⼊死循环）。
因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
寻找右边界思路：
• 寻右左边界：
◦ ⽤ resRight 表⽰右边界；
◦ 我们注意到右边界的特点：
▪ 左边区间 （包括右边界） [left, resRight] 都是⼩于等于 x 的；
▪ 右边区间 [resRight+ 1, right] 都是⼤于 x 的；
• 因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：
◦ 当我们的 mid 落在 [left, resRight] 区间的时候，说明 [left, mid - 1]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid的位置； 当 mid 落在 [resRight+ 1, right] 的区间的时候，说明 [mid, right] 内的元素
是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；
• 由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；
注意：这⾥找中间元素需要向上取整。
因为后续移动左右指针的时候：
• 左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值
没有改变，就会陷⼊死循环）。
• 右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的；
因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整。
3、代码实现
class Solution { public: vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) { if(nums.size()==0) return {-1,-1}; int left=0,right=nums.size()-1,begin=0; while(left<right) { int mid=left+(right-left)/2; if(nums[mid]<target) left=mid+1; else right=mid; } if(nums[left]!=target) return{-1,-1}; else begin=left; left=0,right=nums.size()-1; while(left<right) { int mid=left+(right-left+1)/2; if(nums[mid]<=target) left=mid; else right=mid-1; } return {begin,right}; } };
三、X的平方根
1、题目讲解
2、算法原理
设 x 的平⽅根的最终结果为 index ：
a. 分析 index 左右两次数据的特点：
▪ [0, index] 之间的元素，平⽅之后都是⼩于等于 x 的；
▪ [index + 1, x] 之间的元素，平⽅之后都是⼤于 x 的。
3、代码实现
class Solution { public: int mySqrt(int x) { if(x>=0 && x<1) return 0; int left=1,right=x; while(left<right) { long long mid=left+(right-left+1)/2; if(mid*mid<=x) left=mid; else right=mid-1; } return left; } };
四、搜索插入位置
1、题目讲解
2、算法原理
a. 分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：
设插⼊位置的坐标为 index ，根据插⼊位置的特点可以知道：
• [left, index - 1] 内的所有元素均是⼩于 target 的；
• [index, right] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。
b. 设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信
息，分析下⼀轮查询的区间：
▪ 当 nums[mid] >= target 时，说明 mid 落在了 [index, right] 区间上，
mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [left, mid] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
▪ 当 nums[mid] < target 时，说明 mid 落在了 [left, index - 1] 区间上，
mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 [mid+ 1, right] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。
c. 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是 left == right 的时候， left 或者right 所在的位置就是我们要找的结果。
3、代码实现
class Solution { public: int searchInsert(vector<int>& nums, int target) { int left=0,right=nums.size()-1; while(left<right) { int mid=left+(right-left)/2; if(nums[mid]<target) left=mid+1; else right=mid; } if(nums[left]<target) return left+1; else return left; } };
