动态规划（背包问题）
1. 01背包
- 状态表示
dp[i][j] 表示从前i个物品当中挑选，总体积不超过j,所有选法当中能挑选出来的最大价值 - 状态转移方程
- 初始化
- 填表
- 返回值
AC代码：
#include <iostream> #include <cstring> const int N = 1010; int n, V, v[N], w[N]; int dp[N][N]; int main() { std::cin>> n >> V; for (int i = 1; i <= n; i++) { std::cin>> v[i] >> w[i]; } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= V; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (j >= v[i]) { dp[i][j] = std::max(dp[i][j], w[i] + dp[i - 1][j - v[i]]); } } } std::cout << dp[n][V] << std::endl; memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (int j = 1; j <= V; j++) dp[0][j] = -1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= V; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (j >= v[i] && dp[i - 1][j - v[i]] != -1) { dp[i][j] = std::max(dp[i][j], w[i] + dp[i - 1][j - v[i]]); } } } std::cout << (dp[n][V] == -1 ? 0 : dp[n][V]) << std::endl; return 0; }
空间优化：
利用滚动数组做空间上的优化，遍历顺序需要从右到左
不需要解释优化后的状态表示，以及状态转移方程
优化后代码：
#include <iostream> #include <cstring> const int N = 1010; int n, V, v[N], w[N]; int dp[N]; int main() { std::cin>> n >> V; for (int i = 1; i <= n; i++) { std::cin>> v[i] >> w[i]; } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = V; j >= v[i]; j--) { dp[j] = std::max(dp[j], w[i] + dp[j - v[i]]); } } std::cout << dp[V] << std::endl; memset(dp, 0, sizeof(dp)); for (int j = 1; j <= V; j++) dp[j] = -1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = V; j >= v[i]; j--) { if (dp[j - v[i]] != -1) { dp[j] = std::max(dp[j], w[i] + dp[j - v[i]]); } } } std::cout << (dp[V] == -1 ? 0 : dp[V]) << std::endl; return 0; }
2. 分割等和子集
将一个数组分割成相同的两部分，就需要在整个数组里面找正好相等就可以。其实就是一个背包问题
- 状态表示
dp[i][j]表示 0 到 i 区间内正好等于是否可以满足正好等于 j - 状态转移方程
- 初始化
第一列为true ，当目标是0是肯定可以满足 - 填表
- 返回值
AC代码：
class Solution { public: bool canPartition(vector<int>& nums) { int n = nums.size(); int sum = 0; for (auto x : nums) sum += x; if (sum % 2) return false; int aim = sum / 2; vector<vector<bool>> dp(n + 1, vector<bool>(aim + 1)); for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = true; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= aim; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (j >= nums[i - 1]) dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]]; } } return dp[n][aim]; } };
利用滚动数组进行优化：
class Solution { public: bool canPartition(vector<int>& nums) { int n = nums.size(); int sum = 0; for (auto x : nums) sum += x; if (sum % 2) return false; int aim = sum / 2; vector<bool> dp(aim + 1); dp[0] = true; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = aim; j >= nums[i - 1]; j--) { dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i - 1]]; } } return dp[aim]; } };
3. 目标和
分析题目，a 代表所有正数的和，b则代表所有负数的和
a - b = target a + b = sum 所以a = (target + sum) / 2
所以最终求的是是否可以让这个数是a
- 状态表示
dp[i][j]表示从 i 个中选正好等于j 有多少中选法 - 状态转移方程
- 初始化
- 填表
- 返回值
AC代码：
class Solution { public: int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) { int sum = 0; for (auto x : nums) sum += x; int aim = (sum + target) / 2; if (aim < 0 || (sum + target) % 2) return 0; int n = nums.size(); vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(aim + 1)); dp[0][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= aim; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (j >= nums[i - 1]) { dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]]; } } } return dp[n][aim]; } };
4. 最后一块石头的重量 ||
这个题目就是在一个数组当中选一些数字，让这些数字尽可能的接近sum / 2
- 状态表示
dp[i][j]表示 i 中选，总体积不超过j此时的最大和 - 状态转移方程
- 初始化
- 填表
- 返回值
AC代码：
class Solution { public: int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) { int sum = 0; for (auto x : stones) sum += x; int n = stones.size(), m = sum / 2; vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1)); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j <= m; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if (j >= stones[i - 1]) { dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]); } } } return sum - 2 * dp[n][m]; } };
