【动态规划刷题 5】 最小路径和&&地下城游戏

简介: 【动态规划刷题 5】 最小路径和&&地下城游戏

最小路径和

链接: 64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。

说明:每次只能向下或者向右移动一步。

输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]

输出:7

解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2:

输入:grid = [[1,2,3],[4,5,6]]输出:12

1.状态表示

对于这种「路径类」的问题,我们的状态表⽰⼀般有两种形式:

  1. i. 从 [i, j] 位置出发,……;
  2. ii. 从起始位置出发,到达 [i, j] 位置,……;

这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式:


dp[i][j] 表⽰:⾛到 [i, j] 位置处,此时的最小路径和。

2.状态转移方程

对于 dp[i][j] ,我们发现想要到达 [i, j] 位置,有两种⽅式:

  1. i. 从 [i, j] 位置的上⽅ [i - 1, j] 位置,向下⾛⼀步,此时到达 [i, j] 位置 ;
  2. ii. 从 [i, j] 位置的左边 [i, j - 1] 位置,向右⾛⼀步,此时到达 [i, j] 位置;
  3. 由于到 [i, j] 位置两种情况,并且我们要找的是最⼩路径,因此只需要这两种情况下的最⼩值,再加上 [i, j] 位置上本⾝的值即可
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]

3. 初始化

为了解决一些边界条件,我们可以添加辅助节点,

在本题中,「添加⼀⾏」,并且「添加⼀列」后,所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤,然后让dp[0][1] = dp[1][0] = 1 即可。

4. 填表顺序

根据「状态转移⽅程」,填表的顺序是「从上往下填写每⼀⾏」,「每⼀⾏从左往右」

5. 返回值

应该返回 dp[m][n] 的值;

代码:

   int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        dp[0][1]=0;
        dp[1][0]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }

174. 地下城游戏(###)

链接: 174. 地下城游戏

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里,他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。


骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下,他会立即死亡。有些房间由恶魔守卫,因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数(若房间里的值为负整数,则表示骑士将损失健康点数);其他房间要么是空的(房间里的值为 0),要么包含增加骑士健康点数的魔法球(若房间里的值为正整数,则表示骑士将增加健康点数)。


为了尽快解救公主,骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。


返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。


注意:任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁,也可能增加骑士的健康点数,包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

输入:dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]

输出:7

解释:如果骑士遵循最佳路径:右 -> 右 -> 下 -> 下 ,则骑士的初始健康点数至少为 7 。


示例 2:

输入:dungeon = [[0]]

输出:1


1.状态表示


这道题如果我们定义成:从起点开始,到达 [i, j] 位置的时候,所需的最低初始健康点数。

那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题:那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。(后效性问题)

这个时候我们要换⼀种状态表⽰:从 [i, j] 位置出发,到达终点时所需要的最低初始健康点数。

这样我们在分析状态转移的时候,后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述,定义状态表⽰为:

dp[i][j] 表⽰:从 [i, j] 位置出发,到达终点时所需的最低初始健康点数


2.状态转移方程


对于 dp[i][j] ,从 [i, j] 位置出发,下⼀步会有两种选择:

往右走一步,到达dp[i][j-1]的位置,根据dp[]数组的定义,需要满足的条件是,走到dp[i][j-1]时的生命值,必需大于等于dp[i][j-1] ,也就是:

dp[i][j] +dungeon[i][j]>=dp[i][j+1], ==》》 dp[i][j] >=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]

往下走一步,到达dp[i-1][j]的位置,同理可得,

dp[i][j] >=dp[i+1][j]-dungeon[i][j]

综上所述,我们需要的是两种情况下的最⼩值,因此可得状态转移⽅程为:

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]


但是,如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话, dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数,也就是最低点数会⼩于 1 ,那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话,说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可:

dp[i][j] = max(1, dp[i][j])


3. 初始化


为了解决一些边界条件,我们可以添加辅助节点,

在本题中,在 dp 表最后⾯添加⼀⾏,并且添加⼀列后,所有的值都先初始化为⽆穷⼤,然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。


4. 填表顺序

根据「状态转移⽅程」,我们需要「从下往上填每⼀⾏」,「每⼀⾏从右往左」。


5. 返回值

应该返回 dp[0][0] 的值;


代码:

int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
        int m=dungeon.size();
        int n=dungeon[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
        //dp[i][j]+dungeon[i][j+1]>=dp[i][j+1]    ->  dp[i][j]=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]
        dp[m][n-1]=1;
        dp[m-1][n]=1;
        for(int i=m-1;i>=0;i--)
        {
            for(int j=n-1;j>=0;j--)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
                dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }

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