英文原文(What happens inside Eigen, on a simple example)
考虑以下示例程序：
#include<Eigen/Core>
int main()
{
int size = 50;
// VectorXf is a vector of floats, with dynamic size.
Eigen::VectorXf u(size), v(size), w(size);
u = v + w;
}
本页的目标是了解 Eigen 如何编译，假设启用了 SSE2 矢量化（GCC 选项 -msse2）。
为什么讨论这个问题
也许你认为上面的示例程序很简单，编译它应该不涉及任何非常有趣的事情。在开始之前，让我们解释一下编译它时的一些不普通的部分——也就是生成优化代码——以便我们在这里解释Eigen的复杂性真正有用。
看一下这行代码：
u = v + w; // (*)
编译它的第一件重要的事情是数组应该只遍历一次，就像：
for(int i = 0; i < size; i++) u[i] = v[i] + w[i];
问题是，如果我们创建一个简单的 C++ 库，其中 VectorXf 类有一个返回 VectorXf 的运算符+，那么代码行 (*) 将相当于：
VectorXf tmp = v + w;
VectorXf u = tmp;
显然，这里引入临时tmp是没有用的。它对性能有非常糟糕的影响，首先是因为 tmp 的创建需要在此上下文中进行动态内存分配，其次是因为现在有两个 for 循环：
for(int i = 0; i < size; i++) tmp[i] = v[i] + w[i];
for(int i = 0; i < size; i++) u[i] = tmp[i];
如果我们需要进行两次数组遍历而不是一次，这对性能来说非常糟糕，因为这意味着我们需要做很多冗余的内存访问。
编译上述程序的第二个重要方面是正确使用SSE2指令。请注意，Eigen还支持AltiVec，我们在这里讨论的所有内容也适用于AltiVec。
像AltiVec一样，SSE2是一组指令，允许一次处理128位数据。由于float占32位，这意味着SSE2指令可以一次处理4个float。这意味着，如果正确使用，它们可以使我们的计算速度提高4倍。
然而，在上面的程序中，我们选择了size=50，因此我们的向量由50个float组成，而50不是4的倍数。这意味着我们不能指望使用SSE2指令来执行所有的计算。我们应该着眼于次优解，即使用SSE2指令处理前48个系数，因为48是小于50的最大4的倍数，然后单独处理第49个和第50个系数。类似这样：
for(int i = 0; i < 4*(size/4); i+=4) u.packet(i) = v.packet(i) + w.packet(i);
for(int i = 4*(size/4); i < size; i++) u[i] = v[i] + w[i];
因此，让我们逐行查看示例程序，然后跟随 Eigen 进行编译。
构建向量
我们分析一下第一行代码：
Eigen::VectorXf u(size), v(size), w(size);
首先，VectorXf 是 typedef 定义类型：
typedef Matrix<float, Dynamic, 1> VectorXf;
类模板Matrix在src/Core/util/ForwardDeclarations.h中声明，有6个模板参数，但最后3个参数由前3个自动确定，所以暂时不解释它们。在这里，Matrix<float，Dynamic，1>表示一个浮点数矩阵，具有1列和动态的行数。
Matrix 类继承了基类 MatrixBase。可以说 MatrixBase 统一了矩阵/向量和所有表达式类型，下面将详细介绍。
当只执行 Eigen::VectorXf u(size); 时，调用的构造函数是 Matrix::Matrix(int)，位于 src/Core/Matrix.h 中。除了一些断言之外，它所做的只是构造 m_storage 成员，其类型为 DenseStorage<float, Dynamic, Dynamic, 1>。
你可能会想，把存储放在一个单独的类中是不是设计过度了？原因是Matrix类模板涵盖了各种矩阵和向量：固定大小和动态大小。这两种情况下的存储方法不同。对于固定大小的矩阵，矩阵系数被存储为一个普通的成员数组。对于动态大小的矩阵，系数将被存储为指向动态分配数组的指针。因此，需要将存储从Matrix类中抽象出来。这就是DenseStorage的作用。
让我们看看在 src/Core/DenseStorage.h 中的这个构造函数。这里有许多DenseStorages的部分模板特化，单独处理维度为Dynamic或在编译时固定的情况。我们要看的部分特化是：
template<typename T, int Cols_> class DenseStorage<T, Dynamic, Dynamic, Cols_>
这里，调用的构造函数是 DenseStorage::DenseStorage(int size, int rows, int columns)，其中 size=50、rows=50、columns=1。
这个构造函数如下：
inline DenseStorage(int size, int rows, int) : m_data(internal::aligned_new<T>(size)), m_rows(rows) {
}
这里，m_data成员是矩阵系数的实际数组，它是动态分配的。与其调用new[]或malloc()，Eigen 定义了自己的internal::aligned_new，它位于 src/Core/util/Memory.h中。它的作用是，如果启用了向量化，那么它会使用平台特定的调用来分配一个128位对齐的数组，因为对于使用SSE2和AltiVec进行向量化非常有用。如果未启用向量化，则相当于标准的new[]。
构造函数还将m_rows成员设置为size。请注意，这里没有m_columns成员：实际上，在DenseStorage的这个部分特化中，列数是编译时确定的，因为Cols_模板参数与Dynamic不同。在这种情况下，Cols_为1，这意味着我们的向量只是一个只有1列的矩阵。因此，没有必要将列数存储为运行时变量。
当调用VectorXf::data()获取系数数组的指针时，它会返回DenseStorage::data()，后者返回m_data成员。
当调用VectorXf::size()获取向量的大小时，实际上是调用了基类MatrixBase中的一个方法。它确定向量是一个列向量，因为ColsAtCompileTime==1（这来自于typedef VectorXf中的模板参数）。它推断出大小就是行数，所以返回VectorXf::rows()，后者返回DenseStorage::rows()，后者返回构造函数设置的m_rows成员。
