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从01背包说起（上）(初学者读本文必看！！！）
上次（上面链接）讲到，01背包的一种做法——二维数组法。这种方法有一个巨大的缺陷：没必要的空间使用过多。
因此，有了一种优化做法，一维数组法。
原题优化
思路
设fj表示重量（或事件）为j时的最大价值，vi表示的i个物品的质量，wi表示第i个物品的重量（或时间）
顺序循环i，遍历每一个物品；再从最大容量到wi,循环j（时间），进行两种情况（选与不选）的比较。若选，则背包容量还剩j-w[i],所以要取背包剩余容量j-w[i]所获得的最大价值f[j-w[i]]；不选，就不变。因为是最大价值，因此用max（）函数求更大。
核心代码
for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=T;j>=w[i];j--) { f[j]=max(f[j-w[i]]+v[i],f[j]); } }
变式题
[NOIP2006 提高组] 金明的预算方案
金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 nn 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：
| 主件 | 附件 |
| 电脑 | 打印机，扫描仪 |
| 书柜 | 图书 |
| 书桌 | 台灯，文具 |
| 工作椅 | 无 |
如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 00 个、11 个或 22 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 nn 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 55 等：用整数 1 \sim 51∼5 表示，第 55 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 1010 元的整数倍）。他希望在不超过 nn 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第 jj 件物品的价格为 v_jvj，重要度为w_jwj，共选中了 kk 件物品，编号依次为 j_1,j_2,\dots,j_kj1,j2,…,jk，则所求的总和为：
v_{j_1} \times w_{j_1}+v_{j_2} \times w_{j_2}+ \dots +v_{j_k} \times w_{j_k}vj1×wj1+vj2×wj2+⋯+vjk×wjk。
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
第一行有两个整数，分别表示总钱数 nn 和希望购买的物品个数 mm。
第 22 到第 (m + 1)(m+1) 行，每行三个整数，第 (i + 1)(i+1) 行的整数 v_ivi，p_ipi，q_iqi 分别表示第 ii 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 q_i=0qi=0，表示该物品本身是主件。
输出格式
输出一行一个整数表示答案
输入输出样例
输入
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
输出 #1复制
2200
直接贴代码。。。
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; struct aa { int v,p,q; }a[60],pat[60][60]; int n,m,t[60],V[60][10],P[60][10],cnt[60],f[32000],ans,i,j,k; int main() { cin>>n>>m; for(i=1;i<=m;i++) { cin>>a[i].v>>a[i].p>>a[i].q;//输入 if(a[i].q!=0)//当他是附件时 { t[a[i].q]++;//主件有多少附件 pat[a[i].q][t[a[i].q]].v=a[i].v; pat[a[i].q][t[a[i].q]].p=a[i].p; pat[a[i].q][t[a[i].q]].q=a[i].q;//替换输入 } } for(i=1;i<=m;i++)//当物品是附件时是直接跳过的 { if(t[i]!=0)//选主件也选附件 { memset(f,-1,sizeof(f)); //当f[i]==-1时表示这个体积下没有选任何一个附件（恰好背包） f[0]=0; for(j=1;j<=t[i];j++)//多重背包 对于这件物品的附件选择 for(k=n-a[i].v;k>=pat[i][j].v;k--) if(f[k]<f[k-pat[i][j].v]+pat[i][j].v*pat[i][j].p&&f[k-pat[i][j].v]!=-1) f[k]=f[k-pat[i][j].v]+pat[i][j].v*pat[i][j].p; for(j=0;j<=n-a[i].v;j++) if(f[j]!=-1)//有用的情况 选择了一个或多个附件 { cnt[i]++; V[i][cnt[i]]=j+a[i].v; P[i][cnt[i]]=f[j]+a[i].v*a[i].p;//记录代替 } } if(a[i].q==0)//只选主件 { cnt[i]++; V[i][cnt[i]]=a[i].v; P[i][cnt[i]]=a[i].p*a[i].v;//记录代替 } } memset(f,0,sizeof(f)); for(i=1;i<=m;i++)//分组背包 当物品是附件时是直接跳过的 for(j=n;j>=0;j--) for(k=1;k<=cnt[i];k++) if(j>=V[i][k]) f[j]=max(f[j],f[j-V[i][k]]+P[i][k]); for(i=0;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);//求出最大值 cout<<ans<<endl;//输出 }
