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人员排班问题

随着现在产业的发展，7*24小时服务的需要，人员排班的问题，逐渐成为了企业管理中的重要环节。人员排班在许多行业都具有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：

• 制造业：生产车间的人员分配、班次安排和轮班计划等，需要根据产线的工作要求和员工的技能特点进行合理的排班。
• 医疗行业：医院、诊所等机构需要对医生、护士等员工进行排班。
• 餐饮业：餐厅、咖啡馆等服务场所需要根据客流高峰期和低谷期合理安排员工的工作时间。
• 零售业：商场、超市等零售场所需要根据营业时间、客流量和节假日等因素进行人员排班。
• 旅游业：景区、酒店等旅游设施需要根据旅游旺季、淡季和客流量变化对员工进行排班。
• 客服中心：呼叫中心、在线客服等服务机构需要根据客户咨询需求进行员工排班。

总之，人员排班在各行各业都具有重要的实际应用价值，可以帮助企业和机构提高管理效率、降低成本，同时提升员工的工作满意度和整体效能。

如何合理、高效地进行人员排班，以提高员工的工作满意度和生产效率，保障企业的正常运营，成为了一个亟待解决的问题。

运筹学中的数学规划方法是计算人员排班问题的一个好方案。人员排班问题在建模时需要考虑多种约束条件，比如：

• 用工需求约束：根据各岗位的工作任务和生产要求，保证每个岗位在每个时间段内有足够的员工进行工作。
• 员工能力约束：不同岗位可能需要不同的技能和经验，需要确保安排到相应岗位的员工具备相关的能力和资质。
• 工作时间约束：员工的工作时间需要遵守相关法律法规，比如每天工作时间上限、休息时间要求等。此外，还需要考虑员工的工作时间偏好，如部分员工可能只能接受特定时间段的工作安排。
• 连续工作天数约束：为保证员工的工作质量和身体健康，通常要求连续工作天数不超过一定限制。以及员工在一定时间周期内有休假要求，需要确保他们的休假安排得到满足。
• 公平性约束：为保障员工的权益，要求在满足以上约束的前提下，尽量平衡各员工的工作时间和任务分配，避免出现工作负担不均衡的情况。
• 员工偏好：如每个员工有自己更喜欢的上班的时间、岗位、或者协作同事配合等。

我们需要考虑企业内各岗位的需求、员工的工作能力以及工作时间的限制等因素。此外，还需关注企业成本与员工满意度的权衡，以确保在合理控制成本的前提下，最大程度地提高员工的工作满意度。属于一个约束复杂，且多目标的问题。在用数学规划方法进行排班时，建议做一些业务逻辑简化问题，否则容易出现问题太大或者不可解的情况。

下面我们将通过一个简单的例子，讲解如何使用数学规划的方法来做人员排班。

问题描述

一个公司有客服岗工作需要安排，不同时间段有不同的用户需求。该公司安排员工上班的班次有三种：早班8-16点、晚班16-24点和夜班0-8点。一周员工最多安排5天上班，最少休息2天。需要保障值班员工能满足需求，且要保障员工休息时间，如前一天安排晚班后，第二天不能安排早班。

请问怎么安排总上班的班次最少，此时的班表是什么样的？

数学建模

首先根据工作量预估每天早、中、晚三个班次需要的最少的上班人数。然后我们根据值班最大值，预估我们需要的人数c。

集合

• 一周日期
• 班次的编号
• 员工编号先根据预估设

参数

• 每天d每个班次s的需求在岗人数

变量

• 代表在 号，班次 上，员工 的上班状态，0代表没有值班，1代表值班。

约束

• 每天各个班次在岗的人数符合需求  
• 每人每天最多只有一个班次，即
• 前一天是晚班的，第二天不能是早班，
• 一周工作工作时间不能超过5天,

目标

• 雇佣的员工最少，即有排班的班次总数最少

这里我们汇总的等价数学建模公式是

数据

我们在需求人数.csv中列举了周几、班次和需求人数。数据同下表：

为了读取数据方便，我们还将数据更换格式存储在了：班次.csv 和 需求人数-长列表.csv ，《结果》目录中可以查看表数据。

3. MindOpt APL 建模和求解

MindOpt APL是一款代数建模语言，它可以方便地将数学语言描述成程序，然后调用多种求解器求解。MindOpt Solver支持混合整数线性规划（MILP）问题的求解，可选用它。

改写上面的数据图和数学模型，如下代码，在Notebook的cell中运行它：

clear model;
# 建模
# staffSchedule.mapl
set Schedule = {read "班次.csv" as "<1s>" skip 1}; # 读取班次的名称
set Day = {read "需求人数.csv" as "<1n>" skip 1}; #读取排班的日期
param maxDay = max(Day);
print "待排",maxDay,"天的班";
param NumDemand = read "需求人数-长列表.csv" as "<1n,2s> 3n" skip 1; #读取每天各个班次的需求人数，原横纵表拉成长列表为了读取数据方便
param totalSlots = sum {<d,s> in Day*Schedule} NumDemand[d,s];
print "总共有",totalSlots,"个班次待排";
#预估上班人数
param maxEmployee = ceil(totalSlots/5) + 1; #如果班次需求特殊导致不可解的时候，可以增加员工
print "设置参与排班人数：",maxEmployee;
set Employee = {1..maxEmployee};
#声明变量 
var x[Day*Schedule*Employee] binary; 
#约束
subto constraint_0 :
forall {<d,s> in Day*Schedule}
sum {e in Employee} x[d,s,e] >= NumDemand[d,s]; #满足用工需求
subto constraint_1 : 
forall {<d,e> in Day*Employee}
sum {s in Schedule} x[d,s,e] <= 1;  #每人每天只排一个班次
set DayPre = Day without {<maxDay>}; #去掉最后一天
subto constraint_2 : 
forall {e in Employee}
forall {d in DayPre}
x[d,"夜班0-8点",e] + x[d+1,"早班8-16点",e] <= 1; #前一天晚班的，第二天不排早班
subto constraint_3 : 
forall {e in Employee}
sum {<d,s> in Day*Schedule} x[d,s,e] <= 5; #待排的7天里只上5天班
minimize minOnduty: sum {<d,s,e> in Day*Schedule*Employee} x[d,s,e];
#求解
option solver mindopt;     # （可选）指定求解用的求解器，默认是MindOpt
option mindopt_options 'print=0'; #设置求解器输出级别，减少过程打印
solve;         # 求解
# 结果打印和检查结果
print "-----------------Display---------------";
#display; #打印太多，注释了
param ondutySlots = sum {<d,s,e> in Day*Schedule*Employee} x[d,s,e];
print "有排班的班次总数：",ondutySlots;
print "-----------------";
forall {e in Employee }
print "员工",e,"排了", sum{<d,s> in Day*Schedule} x[d,s,e],"个班次";
print "-----------------";
forall {e in Employee with sum{<d,s> in Day*Schedule} x[d,s,e] <= 0}
print "员工",e,"没有排班";
print "-----------------";
forall {<d,s> in Day*Schedule}
print "在周,",d,",的,",s,"安排了,", sum{e in Employee} x[d,s,e],"个员工上班";
print "---------细节班表--------";
print "-,","日期",",-,","班次",",-,","员工";
forall {<d,s,e> in Day*Schedule*Employee with x[d,s,e] >0}
print "在周,",d,",的,",s,",安排了员工：,",e;

4. 结果

运行上述代码后，得到结果打印量较多，在此展示部分结果：完整结果、排班表、班次表、需求人数表可在《人员排班案例》中查看

在周,1,的,早班8-16点,安排了员工：,11
在周,1,的,早班8-16点,安排了员工：,13
在周,1,的,早班8-16点,安排了员工：,14
在周,1,的,早班8-16点,安排了员工：,17
在周,1,的,早班8-16点,安排了员工：,19
在周,1,的,晚班16-24点,安排了员工：,4

可以复制该内容存储为csv格式，如文件排班表.csv。点击右键下载后，可以在excel软件中打开，通过筛选看每个班次哪些人上班，或者员工一周要上哪些班次。如下面的是员工1的班表：

需注意的是，本问题的数据是刚好人数与任务较匹配，员工的排班比较满。如果修改数据后，遇到特殊情况，需要修改代码，比如：

• 问题不可解的时候，增加员工数maxEmployee
• 有较多员工班表不满的时候，减少员工maxEmployee来降低成本。