1. 题目分析

题目链接选自力扣 : 最佳买卖股票时机含冷冻期

结合示例 1 来看 :

也就是说, 对于操作而言始终是买入, 卖出, 冻结三次一循环. 分别循环对应到我们的prices 数组. 并且每次我们只能操作手里的一支股票, 只有这只股票卖出并且不在冻结期内才可以购买下一支股票. 最终求取获得的最大利润.

在来看示例 2

根据我们之前说的交易状态循环, 它不是买入嘛 ? 最终获利 - 1 猜对 ? 其实不然, 这里讲解的是特殊情况, 也就是针对于当天我们可以不进行操作.

什么意思呢 ? 也就是说, 如果当天股票太贵, 我不想买入了也可以.手上一支股票也没有这时候是自由状态, 买入以后就处于可卖出状态, 卖出以后就处于冻结状态, 冻结过后就又处于自由状态, 可以选择是否买入.

同样的, 如果我当前是买入状态, 我可以选择不卖出, 结束后同样还是处于买入状态

2. 转态表示

以 i 为结尾, 从第一天开始到第 i 天结束时所获得的最大利润.

到达第 i 天时, 又有三种不同的交易状态, 因此对于这个状态表示我们还可以接着细分.

因为交易状态是三次一循环的. 数组的长度为 n, n % 3 结果为 0 则认为是买入状态, 结果为 1 则认为是可交易状态, 结果为 2 则认为是冻结状态

可交易状态 : 当前你已经卖出去了, 手里没有股票, 并且不出在冻结期

1. 第 i 天结束时处于买入状态

这种情况我们表示为 dp[i][0], 即第 i 天结束时, 处于买入状态所获得的最大利润

2. 第 i 天结束时处于可交易状态

这种情况我们表示为 dp[i][1], 即第 i 天结束时, 处于可交易状态所获得的最大利润

3. 第 i 天结束时处于冻结状态

这种情况我们表示为 dp[i][2], 即第 i 天结束时, 处于冻结状态所获得的最大利润

它是一个多状态的动态规划问题. 有多个状态表示, 同时也会有多个状态转移方程.

3. 状态转移方程

针对上面的三个不同状态, 我们分别来分析一下对应的状态转移方程. 想要知道第 i 天的情况, 那么就需要分析 i - 1 天的情况

1. 第 i 天结束时处于买入状态

如何才能在第 i 天结束时处于买入状态呢 ?

1.1 第 i - 1 天时处于买入状态, 第 i 天时不操作, 第 i 天结束后依然为买入状态

则当前利润对应到状态表示中为 i - 1 天结束处于可买入状态, 即 dp[i-1][0]

1.2. 第 i - 1 天时处于可交易状态, 第 i 天时买入, 第 i 天结束后则处于买入状态

则当前利润对应到状态表示中为 i - 1 天结束处于可交易状态, 即 dp[i-1][1], 并且第i 天花钱买入股票, 最终第 i 天结束此时利润为 dp[i-1][1] - prices[i]

最终 dp[i][0] = Math.max( dp[i-1][1] - prices[i], dp[i-1][0] ) 这两种情况的最大收益

第 i 天结束时处于可交易状态

2.2 第 i - 1 天处于可交易状态, 第 i 天不操作, 则第 i 天接受后依然为可交易状态

则当前利润对应到状态表示中为第 i - 1 天结束处于可交易状态, 即 dp[i-1][1]

2.1 第 i - 1 天处于冷冻期, 第 i 天不操作, 那么第 i 天结束后则处于可交易状态

则当前利润对应到状态表示中为第 i - 1 天结束处于冻结期, 即 dp[i-1][2]

最终 dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][2] )

3. 第 i 天结束时处于冻结状态
   3.1 第 i - 1 天处于买入状态, 第 i 天卖出, 则第 i 天结束后处于冷冻状态
   

则当前利润对应到状态表示中为第 i - 1 天结束处于买入状态, 即 dp[i-1][0], 并且第 i 天卖出股票, 利润为 dp[i-1][0] + prices[i]

最终 dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i]

4. 初始化

根据状态转移方程, 可以看到填表时 dp[0][0] 和 dp[0][1] 以及 dp[0][2] 会发生越界错误, 因此这三个位置需要初始化.

1. 第 0 结束后处于买入状态, 意味着当天必须买入这只股票, 因此当前最大利润为 -prices[0] ( 负值 ! )
   
2. 第 0 天结束后处于交易状态, 要想处于交易状态, 说明这天我们什么都没做, 为自由状态. 最大利润为 0
   
3. 第 0 天结束后处于冻结期, 意味着第 0 天当天不可能是冻结期, 等同于第 0 天买了又买了, 最后获利为 0

5. 填表顺序

根据状态转移方程, 填表顺序为从左往右, 一次需要填写 3 列. 即每天的三种状态对应的不同状态的最大利润

6. 返回值

返回值则是第 n 天结束后, 三种状态下对应利润的最大值.

需要考虑的是, 第一种情况买入状态下, 可以不需要考虑. 比如你手上有一支股票, 没有卖出去处于买入状态, 哪势必比你手上没有股票时利润小. 不管你是因为卖出去了没有股票还是冷冻期没有股票, 都是卖出去了手上的股票, 因此一定比你没卖出去当前手上股票获利多.

最终, 我们只需要考虑第 n 天结束时, 处于交易状态和冷冻期时的最大利润即可.

即 Math.max( dp[n-1][1], dp[n-1][2] )

7. 代码演示

public int maxProfit(int[] prices) {
        // 1. 创建 dp 表
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][3];
        // 2. 初始化
        dp[0][0] = -prices[0];
        // 3. 填写 dp 表
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            // 根据状态转移方程填写
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); 
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][2]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
        }
        // 4. 确认返回值
        return Math.max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]);
    }