前言

一.树概念及结构

1.树的概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

树是递归定义的。

注意：

 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。每个节点只有一个父结点，对于N个节点都有N-1条边与之对应，

2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

3.树的表示

树结构要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

在这里就是通过第一个孩子，这个孩子的兄弟关系来存储相应的关系，图解如下：

4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二.二叉树概念及结构

1.概念：

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空

由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点

二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

我们可以看看现实里的二叉树：

2.特殊的二叉树：

满二叉树：

 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于n层二叉树，只要前n-1层是满的 ，最后一层要求从左到右是连续的，那么这就是一颗完全二叉树！ 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的性质：

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点.

若规定根节点的层数为1，则深度为h的满二叉树的最大结点数是 2^(h)-1个结点（等比数列求和）.

高度为h的完全二叉树，节点数量的范围是[2^(h-1), 2^h-1].

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0=n2+1.

若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1). (ps： 是log以2为底，n+1为对数)

完全二叉树里度为1的节点只有1个或0个。

三.相关练习题：

例1：

答案：B

解析：根据n0=n2+1

例2：

答案：A

例3：

答案：B

解析：有的同学可能会问为什么不直接用767-512，这样算出来的结点是最后一层的结点数，并不是叶子结点（第n-1层也有叶子结点），所以我们不能这样算。

正确方法：