分治算法的理解与应用

分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“ 分而治之 ”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法( 快速排序，归并序 ) ，傅立叶变换 ( 快速傅立叶变换)

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。 这种算法设计策略叫做分治法。

分治算法实现的基本步骤：

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

1) 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题

2) 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题

3) 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

为了对分治算法的更一步理解，我们举一个使用了分治算法的经典案例：汉诺塔问题

汉诺塔的由来：法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

代码实现的基本思路：

1) 如果是有一个盘， A->C

如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1. 最下边的盘 2. 上面的盘

2) 先把 最上面的盘 A->B

3) 把最下边的盘 A->C

4) 把 B 塔的所有盘 从 B->C

public class Hanoitower {
  public static void main(String[] args) {
  hanoiTower(5, 'A', 'B', 'C');
  }
  // 汉诺塔的移动方法
  // 使用分治算法
  public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {
  // 如果只有一个盘
  if (num == 1) {
    System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);
  } else {
    // 如果我们有n>=2情况，我们总是可以看做是两个盘 最下面的盘和上面的盘
    // 1.先把最上面的盘A->B,移动过程会使用到c
    hanoiTower(num - 1, a, c, b);
    // 2.把最下边的盘A->C
    System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);
    // 3.把B塔的所有盘从B->C 移动过程使用到a塔
    hanoiTower(num - 1, b, a, c);
  }
  }
}