离散数学_第二章:基本结构:集合、函数、序列、求和和矩阵(1)

简介: 离散数学_第二章:基本结构:集合、函数、序列、求和和矩阵(1)

2.1 集合


2.1.1 集合的基本概念

定义1:集合 是不同对象的一个无序的聚集,对象也称为集合的元素(element)或成员(member)。集合包含(contain)它的元素。我们用a∈A来表示a是集合A 中的一个元素。记号a∉A表示a不是集合A 中的一个元素。


定义2:集合相等 两个集合相等当且仅当它们拥有同样的元素

。如果A和B是集合,则A和B是相等的当且仅当∀x (x∈A ↔ x∈B)。如果A和B是相等的集合,就记为 A=B。


定义3:空集 有一个特殊的不含任何元素的集合。这个集合称为空集。


定义4:单元素集 只有一个元素的集合叫作单元素集。


定义5:子集 集合A是集合B的子集并且B是A的超集当且仅当A的每个元素也是B的元素。

我们用记号A ⊆ B表示集合A是集合B的子集。另外,如果我们要强调B是A的超集,可以用等价的记号 B ⊇ A(故 A ⊆ B和B⊇A是等价的语句)。


定义6:n元集 :含有n个元素的集合

0元集:∅

1元集(或单元集),如{a}, {b}, {∅}, {{∅}}······


定义7:相对补集 :属于A而不属于B的全体元素,称为B对A的相对补集,记作A-B。A-B = { x | (x∈A) ∧ (x∉B) }

定义8:对称差 :属于A而不属于B,或属于B而不属于A的全体元素,称为A与B的对称差,记作A⊕B。A⊕B={x|(x∈A∧x∉B)∨(x∉A∧x∈B)}

A⊕B=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)


2.1.2 集合的表示方法

1.花名册方法

(也叫:枚举法、列举法)


🐤列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来。例如:

A = {a,b,c,d,…,x,y,z}

B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}


🐤集合元素的顺序不重要:

C={2,1}={1,2}


🐤集合中的元素各不相同(多重集除外):

C={2,1,1,2}={2,1}


🏔多重集(multiple set):

允许元素多次重复出现的集合

元素的重复度: 元素的出现次数(≥0)

例如:A = {a,a,b,b,c}是多重集

元素a,b的重复度是2

元素c的重复度是1

元素d的重复度是0


🐤当集合中元素特征明确 或者规律显而易见时,可以使用省略号 (···)代替,不必列出所有成员:

S = { a,b,c, ······ ,z }


2.使用集合构造器符号

(也叫:描述法)

通过描述作为集合的成员必须具有的 性质来刻画集合中的那些元素。一般的形式是采用记号 {x | x具有性质P} ,读作:满足 P的所有x的集合


常用的数集合:

N = {0,1,2,3, ···}:自然数(natural numbers)集合

Z = {··· ,-2,-1,0,1,2 ···}:整数(integers)集合

Q = {p/q | p∈Z,q∈Z,且q ≠ 0 }:有理数(rational numbers)集合

R:实数(real numbers)集合

C:复数(complex numbers)集合


这些集合通常用黑体表示


3.特征函数法

集合A的特征函数是χA (x)


2.1.3 文氏图

文氏图: 平面上的n个圆(或椭圆),使得任何可能的相交部分, 都是非空的和连通的


2.1.4 证明集合相等

需要证明:A ⊆ B 和 B ⊆ A


2.1.5 集合的大小 ——基

令S为集合,如果S中恰有n个不同的元素,这里n是非负整数,我们就说S是有限集(一个集合称为是无限的,如果它不是有限的),而n是S的基数,S的基数记为 | S |


➡ 通俗来说,基数就是元素的个数


2.1.6 幂集

幂集: 给定集合S,S的幂集是集合S 所有子集的集合 。S的幂集记作P(S)

例如: A={a,b}, P(A) = {∅,{a},{b},{a,b}}


🐳 x∈P(A) ⇔ x⊆A


定理: |A|=n ⇒ |P(A)|=2n


2.1.7 集族、指标集

集族定义: 由集合构成的集合(幂集都是集族)

指标集定义: 设A是集族, 若A={Aα|α∈S}, 则S称为A的指标集. S中的元素与A中的集合是一一对应的. 也记作A={Aα|α∈S}={Aα}α∈S


2.1.8 笛卡尔积

🚩有序n元组:(a1,a2,···,an)是以a1为第1个元素,a2为第2

个元素,⋯,an为第n个元素的有序聚集。


⭐两个有序n元组是相等的当且仅当每一对对应的元素都相等


特别地,有序二元组称为序偶。


🚩笛卡尔积:

令A和B为集合。A和B的笛卡儿积用 A×B表示,是所有序偶(a,b)的集合,其中a∈A,b∈B。于是,A×B = {(a,b)| a∈A∧b∈B}

注意:笛卡尔积A×B和B×A是不相等的,除非A = ∅,B = ∅或A = B


2.1.9 容斥原理

|A ∪ B| = |A|+|B| - |A∩B|

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