【C语言】负数取模、取余

简介: 首先谈谈关于数学取整的问题

一. 关于“取整”

首先谈谈关于数学取整的问题


1. 向0取整

C中的除法和取整规则都是向0取整,即所有小数都向 0 的方向取整:


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示例:

#include <stdio.h>
int main()
{
  // C中的除法和取整规则都是向0取整
  int i = -2.9;
  int j = 2.9;
  printf("%d\n", i); // -2
  printf("%d\n", j); //  2
  return 0;
}


补充:C++11中有一个trunc(...)取整函数,作用就是向0取整


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2. 向负无穷取整

使用 floor(...)函数,使得所有小数都向负无穷方向取整:


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示例:


#include <stdio.h>
#include <math.h> //因为使用了floor函数,需要添加该头文件
int main()
{
  //本质是向-∞取整
  printf("%f\n", floor(-2.9)); //-3
  printf("%f\n", floor(-2.1)); //-3
  printf("%f\n", floor(2.9));  //2
  printf("%f\n", floor(2.1));  //2
  return 0;
}


3. 向正无穷取整

使用ceil(...)函数,使得所有小数都向正无穷方向取整:

e9f2980c05584ae896b05eded0b86441.png


示例:


#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
  // 本质是向+∞取整
  printf("%f\n", ceil(-2.9)); //-2
  printf("%f\n", ceil(-2.1)); //-2
  printf("%f\n", ceil(2.9));  //3
  printf("%f\n", ceil(2.1));  //3
  return 0;
}


4. 四舍五入式的取整

使用round(...)函数,可以完成对小数四舍五入式的取整:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
  //本质是四舍五入
  printf("%f\n", round(2.1)); // 2
  printf("%f\n", round(2.9)); // 3
  printf("%f\n", round(-2.1));// -2
  printf("%f\n", round(-2.9));// -3
  return 0;
}


二. 关于“取模”的本质

取模的定义如下:


如果a和d是两个自然数,d非零,可以证明存在两个整数 q 和 r,满足 a = q*d + r ,且0 ≤ |r| < |d|。其中,q 被称为商,r 被称为余数。


下面我们对比不同语言下负数取模的结果:


5fa2a356da38495892067bb7f37089e4.png

可以看到,在不同语言中计算同一个表达式,负数“取模”结果是不同的。我们可以分别称之为叫做正余数 和 负余数。


由上面的例子可以看出,具体余数r的大小,本质是取决于商q的。

而商,又取决谁呢?取决于除法计算的时候,取整规则。


Python的取整规则是向负无穷方向取整,所以先计算出来商是 -4,然后才得到余数是2

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C语言的取整规则是向0取整,所以先计算出来商是 -3,然后才得到余数是1

5f944defcf3c4387bedcadb2799b7e94.png


三. 取余和取模的区别

经过上面的例子,我们已经知道了取模(余)的本质是要先计算出商是多少,而商的值取决于商的取整规则。


所以区余和取模的区别也体现在 商的取整规则 上:


取余:尽可能让商,进行向0取整

取模:尽可能让商,向-∞方向取整

所以:


C中%,本质其实是取余

Python中%,本质其实是取模

关于取模和取余的一个规律


同符号数据相除,得到的商,一定是正数,即大于0!


所以在对其商进行取整的时候,向0取整和向-∞方向取整的值都一样,这样子的话:取模的值 = 取余的值。


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