一、基本概念
图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。
注意：线性表中可以没有元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。但是在图中不允许没有顶点，可以没有边。
基本术语：
无向边：若顶点Vi和Vj之间的边没有方向，称这条边为无向边（Edge），用（Vi，Vj）来表示。
无向图（Undirected graphs）：图中任意两个顶点的边都是无向边。
有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，称这条边为有向边，也称为弧（Arc），用<Vi, Vj>来表示，其中Vi称为弧尾（Tail），Vj称为弧头（Head）。
有向图（Directed graphs）：图中任意两个顶点的边都是有向边。
简单图：不存在自环（顶点到其自身的边）和重边（完全相同的边）的图
无向完全图：无向图中，任意两个顶点之间都存在边。
有向完全图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。
稀疏图；有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
权（Weight）：表示从图中一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。
网：带有权重的图
度：与特定顶点相连接的边数；
出度、入度：有向图中的概念，出度表示以此顶点为起点的边的数目，入度表示以此顶点为终点的边的数目；
环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径；
简单环：除去第一个顶点和最后一个顶点后没有重复顶点的环；
连通图：任意两个顶点都相互连通的图；
极大连通子图：包含竟可能多的顶点（必须是连通的），即找不到另外一个顶点，使得此顶点能够连接到此极大连通子图的任意一个顶点；
连通分量：极大连通子图的数量；
强连通图：此为有向图的概念，表示任意两个顶点a，b，使得a能够连接到b，b也能连接到a 的图；
生成树：n个顶点，n-1条边，并且保证n个顶点相互连通（不存在环）；
最小生成树：此生成树的边的权重之和是所有生成树中最小的；
AOV网（Activity On Vertex Network ）：在有向图中若以顶点表示活动，有向边表示活动之间的先后关系
AOE网（Activity On Edge Network）：在带权有向图中若以顶点表示事件，有向边表示活动，边上的权值表示该活动持续的时间
二、图的存储结构
由于图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都可能存在关系，因此用简单的顺序存储来表示图是不可能，而若使用多重链表的方式（即一个数据域多个指针域的结点来表示），这将会出现严重的空间浪费或操作不便。这里总结一下常用的表示图的方法：
1、邻接矩阵
图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
无向图由于边不区分方向，所以其邻接矩阵是一个对称矩阵。邻接矩阵中的0表示边不存在，主对角线全为0表示图中不存在自环。
带权有向图的邻接矩阵:
在带权有向图的邻接矩阵中，数字表示权值weight，「无穷」表示弧不存在。由于权值可能为0，所以不能像在无向图的邻接矩阵中那样使用0来表示弧不存在。
代码：
/** * 有向图的邻接矩阵实现 */ public class Digraph { private int vertexsNum; private int edgesNum; private int[][] arc; public Digraph(int[][] data, int vertexsNum) { this.vertexsNum = vertexsNum; this.edgesNum = data.length; arc = new int[vertexsNum][vertexsNum]; for (int i = 0; i < vertexsNum; i++) { for (int j = 0; j < vertexsNum; j++) { arc[i][j] = Integer.MAX_VALUE; } } for (int i = 0; i < data.length; i++) { int tail = data[i][0]; int head = data[i][1]; arc[tail][head] = 1; } } //用于测试，返回一个顶点的邻接点 public Iterable<Integer> adj(int vertex) { Set<Integer> set = new HashSet<>(); for (int i = 0; i < vertexsNum; i++) { if (arc[vertex][i] != Integer.MAX_VALUE) set.add(i); } return set; } public static void main(String[] args) { int[][] data = { {0,3}, {1,0}, {1,2}, {2,0}, {2,1}, }; Digraph wd = new Digraph(data,4); for(int i :wd.adj(1)) { System.out.println(i); } } }
优缺点：
优点：结构简单,操作方便
缺点：对于稀疏图，这种实现方式将浪费大量的空间。
2、邻接表
邻接表是一种将数组与链表相结合的存储方法。其具体实现为：将图中顶点用一个一维数组存储，每个顶点Vi的所有邻接点用一个单链表来存储。这种方式和树结构中孩子表示法一样。
对于有向图其邻接表结构如下:
有向图的邻接表是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易求一个顶点的出度（顶点对应单链表的长度），但若求一个顶点的入度，则需遍历整个图才行。这时可以建立一个有向图的逆邻接表即对每个顶点v都建立一个弧头尾v的单链表。如上图所示。
代码：
/** * 有向图的邻接表实现 * */ public class AdjListDigraph { private class EdgeNode { int index; EdgeNode next; EdgeNode(int index, EdgeNode next){ this.index = index; this.next = next; } } private class VertexNode { int id; EdgeNode headNode; } private VertexNode[] vertexs; private int vertexsNum; private int edgesNum; public AdjListDigraph(int[][] data, int vertexsNum) { this.vertexsNum = vertexsNum; this.edgesNum = data.length; vertexs = new VertexNode[vertexsNum]; for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { vertexs[i] = new VertexNode(); vertexs[i].id = i; // } for (int i = 0; i < data.length; i++) { int index = data[i][1]; EdgeNode next = vertexs[data[i][0]].headNode; EdgeNode eNode = new EdgeNode(index,next); vertexs[data[i][0]].headNode = eNode; //头插法 } } //用于测试，返回一个顶点的邻接点 public Iterable<Integer> adj(int index) { Set<Integer> set = new HashSet<>(); EdgeNode current = vertexs[index].headNode; while(current != null) { VertexNode node = vertexs[current.index]; set.add(node.id); current = current.next; } return set; } public static void main(String[] args) { int[][] data = { {0,3}, {1,0}, {1,2}, {2,0}, {2,1}, }; AdjListDigraph ald = new AdjListDigraph(data,4); for(int i :ald.adj(1)) { System.out.println(i); } } }
本算法的时间复杂度为 O(N + E)，其中N、E分别为顶点数和边数，邻接表实现比较适合表示稀疏图。
3、十字链表
十字链表（Orthogonal List)是将邻接表和逆邻接表相结合的存储方法，它解决了邻接表（或逆邻接表）的缺陷，即求入度（或出度）时必须遍历整个图。
十字链表的结构如下：
图中：
firstIn表示入边表（即是逆邻接表中的单链表）头指针，firstOut表示出边表（即是邻接表中的单链表）头指针，data表示顶点数据。
tailVex表示边的起点在顶点数组中的下标，tailNext值出边表指针域，指向起点相同的下一条边。
headVex表示边的终点在顶点数组中的下标，headNext指入边表指针域，指向终点相同的下一条边。
代码实现：
/** * 有向图的十字链表实现 * */ public class OrthogonalList { private class EdgeNode { int tailVex; int headVex; EdgeNode headNext; EdgeNode tailNext; public EdgeNode(int tailVex, int headVex, EdgeNode headNext, EdgeNode tailNext) { super(); this.tailVex = tailVex; this.headVex = headVex; this.headNext = headNext; this.tailNext = tailNext; } } private class VertexNode { int data; EdgeNode firstIn; EdgeNode firstOut; } private VertexNode[] vertexs; private int vertexsNum; private int edgesNum; public OrthogonalList(int[][] data, int vertexsNum) { this.vertexsNum = vertexsNum; this.edgesNum = data.length; vertexs = new VertexNode[vertexsNum]; for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) { vertexs[i] = new VertexNode(); vertexs[i].data = i; // } //关键 for (int i = 0; i < data.length; i++) { int tail = data[i][0]; int head = data[i][1]; EdgeNode out = vertexs[tail].firstOut; EdgeNode in = vertexs[head].firstIn; EdgeNode eNode = new EdgeNode(tail,head,in,out); vertexs[tail].firstOut = eNode; vertexs[head].firstIn = eNode; } } //返回一个顶点的出度 public int outDegree(int index) { int result = 0; EdgeNode current = vertexs[index].firstOut; while(current != null) { current = current.tailNext; result++; } return result; } //返回一个顶点的入度 public int inDegree(int index) { int result = 0; EdgeNode current = vertexs[index].firstIn; while(current != null) { current = current.headNext; result++; } return result; } public static void main(String[] args) { int[][] data = { {0,3}, {1,0}, {1,2}, {2,0}, {2,1}, }; OrthogonalList orth = new OrthogonalList(data,4); System.out.println("顶点1的出度为" + orth.outDegree(1)); System.out.println("顶点1的入度为" + orth.inDegree(1)); } }
十字链表创建图算法的时间复杂度和邻接表相同都为O(N + E)。在有图的应用中推荐使用。
三、图的遍历
从图的某个顶点出发，遍历图中其余顶点，且使每个顶点仅被访问一次，这个过程叫做图的遍历（Traversing Graph）。对于图的遍历通常有两种方法：深度优先遍历和广度优先遍历。
1、深度优先遍历
深度优先遍历（Depth First Search，简称DFS），也成为深度优先搜索。
遍历思想：基本思想：首先从图中某个顶点v0出发，访问此顶点，然后依次从v相邻的顶点出发深度优先遍历，直至图中所有与v路径相通的顶点都被访问了；若此时尚有顶点未被访问，则从中选一个顶点作为起始点，重复上述过程，直到所有的顶点都被访问。
深度优先遍历用递归实现比较简单，只需用一个递归方法来遍历所有顶点，在访问某一个顶点时：
将它标为已访问
递归的访问它的所有未被标记过的邻接点
深度优先遍历的过程：
代码如下：
public class DFSTraverse { private boolean[] visited; //从顶点index开始遍历 public DFSTraverse(Digraph graph, int index) { visited = new boolean[graph.getVertexsNum()]; dfs(graph,index); } private void dfs(Digraph graph, int index) { visited[index] = true; for(int i : graph.adj(index)) { if(!visited[i]) dfs(graph,i); } } }
2、广度优先遍历
广度优先遍历（Breadth First Search，简称BFS），又称为广度优先搜索
遍历思想：首先，从图的某个顶点v0出发，访问了v0之后，依次访问与v0相邻的未被访问的顶点，然后分别从这些顶点出发，广度优先遍历，直至所有的顶点都被访问完。
广度优先遍历的过程：
代码：
public class BFSTraverse { private boolean[] visited; public BFSTraverse(AdjListDigraph graph, int index) { visited = new boolean[graph.getVertexsNum()]; bfs(graph,index); } private void bfs(AdjListDigraph graph, int index) { //在JSE中LinkedList实现了Queue接口 Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); visited[index] = true; queue.add(index); while(!queue.isEmpty()) { int vertex = queue.poll(); for(int i : graph.adj(vertex)) { if(!visited[i]) { visited[i] = true; queue.offer(i); } } } } }
四、最小生成树
图的生成树是它的一棵含有所有顶点的无环连通子图。一棵加权图的最小生成树（MST）是它的一棵权值（所有边的权值之和）最小的生成树。
计算最小生成树可能遇到的情况：
非连通的无向图，不存在最小生成树
权重不一定和距离成正比
权重可能是0或负数
若存在相等的权重，那么最小生成树可能不唯一
图的切分是将图的所有顶点分为两个非空且不重叠的两个集合。横切边是一条连接两个属于不同集合的顶点的边。
切分定理：在一幅加权图中，给定任意的切分，它的横切边中的权重最小者必然属于图的最小生成树。
切分定理是解决最小生成树问题的所有算法的基础。这些算法都是贪心算法。
首先先构造一个带权的无向图，其代码如下：
//定义边 public class Edge implements Comparable<Edge>{ private final int ver1; private final int ver2; private final Integer weight; public Edge(int ver1, int ver2, int weight) { super(); this.ver1 = ver1; this.ver2 = ver2; this.weight = weight; } //返回一个顶点 public int either() { return ver1; } //返回另一个顶点 public int other(int vertex) { if (vertex == ver1) return ver2; else if(vertex == ver2) return ver1; else throw new RuntimeException("边不一致"); } @Override public int compareTo(Edge e) { return this.weight.compareTo(e.weight); } public Integer getWeight() { return weight; } @Override public String toString() { return "Edge [" + ver1 + "," + ver2 +"]"; } } /** * 带权无向图的实现 */ public class WeightedGraph { private final int vertexsNum; private final int edgesNum; private List<Edge>[] adj; public WeightedGraph(int[][] data, int vertexsNum) { this.vertexsNum = vertexsNum; this.edgesNum = data.length; adj = (List<Edge>[]) new ArrayList[vertexsNum]; for(int i=0; i<vertexsNum; i++) { adj[i] = new ArrayList<>(); } for (int i = 0; i < data.length; i++) { Edge edge = new Edge(data[i][0],data[i][1],data[i][2]); int v = edge.either(); adj[v].add(edge); adj[edge.other(v)].add(edge); } } public Iterable<Edge> adj(int vertex) { return adj[vertex]; } public int getVertexsNum() { return vertexsNum; } public int getEdgesNum() { return edgesNum; } public Iterable<Edge> getEdges() { List<Edge> edges = new ArrayList<>(); for(int i=0; i<vertexsNum; i++) { for(Edge e : adj[i]) { if(i > e.other(i)) { //无向图，防止将一条边加入两次 edges.add(e); } } } return edges; } }
1、Prim算法
每次将权值最小的横切边加入生成树中
1)、Prim算法的延迟实现
实现过程如下图：
从顶点0开始，首先将顶点0加入到树中（标记），顶点0和其它点的横切边（这里即为顶点0的邻接边）加入优先队列，将权值最小的横切边出队，加入生成树中。此时相当于也向树中添加了一个顶点2，接着将集合（顶点1，2组成）和另一个集合（除1,2的顶点组成）间的横切边加入到优先队列中，如此这般，直到队列为空。
注意：若横切边中另一个顶点在树中，则此边失效。
代码如下：
public class LazyPrimMST { private boolean[] visited; //标记顶点 private LinkedQueue<Edge> mst; //存储最小生成树的边 private MinPQ<Edge> pq; //优先队列，权值越最小优先级越高 public LazyPrimMST(WeightedGraph wg) { visited = new boolean[wg.getVertexsNum()]; mst = new LinkedQueue<Edge>(); pq = new MinPQ<>(wg.getVertexsNum()); visit(wg, 0); //从0点开始 while(!pq.isEmpty()) { Edge e = pq.deQueue(); int ver1 = e.either(); int ver2 = e.other(ver1); if(visited[ver1] && visited[ver2]) { continue; //边失效 } mst.enQueue(e); if(!visited[ver1]) visit(wg, ver1); if(!visited[ver2]) visit(wg, ver2); } } private void visit(WeightedGraph wg, int ver) { visited[ver] = true; //标记顶点 for(Edge e : wg.adj(ver)) { if(!visited[e.other(ver)]) pq.enQueue(e); } } public Iterable<Edge> getMST() { return mst; } public static void main(String[] args) { int[][] data = { {0, 2, 2}, {0, 1, 4}, {0, 5, 5}, {1, 2, 3}, {1, 5, 11}, {1, 3, 7}, {2, 3, 8}, {2, 4, 10}, {3, 5, 6}, {3, 4, 1}, {4, 5, 9} }; WeightedGraph wg = new WeightedGraph(data,6); LazyPrimMST lpm = new LazyPrimMST(wg); for(Edge e : lpm.getMST()) { System.out.println(e); } } }
其中，LinkedQueue类的代码在《数据结构与算法（三），栈与队列》中；而MinPQ类的代码与《数据结构与算法（五），优先队列》中MaxPQ类的代码几乎一样，只需将方法less中的小于号改为大于号即可。这里就不在给出代码了
此方法的时间复杂度为 O(ElogE)，空间复杂度为 O(E)。其中，V为顶点个数，E为边数
2)、Prim算法即时实现
基于Prim算法的延迟实现，我们可以在优先队列中只保存每个非树顶点V的一条边（即它与树中的顶点连接起来的权重最小的那条边），因为其他权重较大的边迟早都会失效。
实现过程如下图：
代码实现：
/** * prim的即时实现 */ public class PrimMST { private Edge[] edgeTo; //点离生成树最近的边 private int[] distTo; //点到生成树的距离 private boolean[] visited; private IndexMinPQ<Integer> pq; //索引优先队列，关联顶点与distTo public PrimMST(WeightedGraph wg) { //初始化 edgeTo = new Edge[wg.getVertexsNum()]; distTo = new int[wg.getVertexsNum()]; visited = new boolean[wg.getVertexsNum()]; for(int i=0; i<wg.getVertexsNum(); i++) { distTo[i] = Integer.MAX_VALUE; } pq = new IndexMinPQ<>(wg.getVertexsNum()); distTo[0] = 0; pq.insert(0, 0); while(!pq.isEmpty()) { visit(wg, pq.delMin()); } } private void visit(WeightedGraph wg, int ver) { visited[ver] = true; for(Edge e : wg.adj(ver)) { int vertex = e.other(ver); //边的另一个点 if(visited[vertex]) continue; if(e.getWeight() < distTo[vertex]) { edgeTo[vertex] = e; //被覆盖的边失效 distTo[vertex] = e.getWeight(); if(pq.contains(vertex)) { pq.change(vertex, distTo[vertex]); }else { pq.insert(vertex, distTo[vertex]); } } } } public Iterable<Edge> getMST() { return Arrays.asList(edgeTo); } }
此方法的时间复杂度为 O(ElogV)，空间复杂度为 O(V)。其中，V为顶点个数，E为边数。
可以看出Prim算法的即时实现比延迟实现明显要快，特别是对于稠密矩阵（E>>>V）的情况。
2、Kruskal算法
Kruskal算法的思想是按照边的权重顺序来生成最小生成树，首先将图中所有边加入优先队列，将权重最小的边出队加入最小生成树，保证加入的边不与已经加入的边形成环，直到树中有V-1到边为止。
实现过程如下图：
/** * Kruskal算法的实现 */ public class KruskalMST { private List<Edge> mst; //存储最小生成树的边 private MinPQ<Edge> pq; //优先队列 private int[] parent; //用来判断边与边是否形成回路 public KruskalMST(WeightedGraph wg) { mst = new ArrayList<Edge>(); pq = new MinPQ<>(wg.getEdgesNum()); parent = new int[wg.getVertexsNum()]; for(Edge e : wg.getEdges()) { pq.enQueue(e); } //最小生成树的边最多为V-1个 while(!pq.isEmpty() && mst.size() < wg.getVertexsNum() - 1) { Edge e = pq.deQueue(); int v = e.either(); int n = find(parent, v); int m = find(parent, e.other(v)); if(n != m) { //表示此边没有与生成树形成环路 parent[n] = m; mst.add(e); } } } //查找连接树的尾部下标 private int find(int[] data, int v) { while(parent[v] > 0) { v = parent[v]; } return v; } public Iterable<Edge> getMST() { return mst; } }
Kruskal算法的时间复杂度最坏情况下为O(ElogE)。空间复杂度为O(E)。
对比Prim算法和Kruskal算法，Kruskal算法主要根据边来生成树，边数少时效率比较高，适合稀疏图；而Prim算法对边数多的稠密图效果更好一些。
五、最短路径
最短路径指两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。
为了操作方便，首先使用面向对象的方法，来实现一个加权的有向图，其代码如下：
/** * 有向边 */ public class Edge{ private final int from; private final int to; private final int weight; public Edge(int from, int to, int weight) { super(); this.from = from; this.to = to; this.weight = weight; } public int getFrom() { return from; } public int getTo() { return to; } public int getWeight() { return weight; } } //带权有向图的实现 public class WeightedDigraph { private final int vertexsNum; private final int edgesNum; private List<Edge>[] adj; //邻接表 public WeightedDigraph(int[][] data, int vertexsNum) { this.vertexsNum = vertexsNum; this.edgesNum = data.length; adj = (List<Edge>[]) new ArrayList[vertexsNum]; for(int i=0; i<vertexsNum; i++) { adj[i] = new ArrayList<>(); } for (int i = 0; i < data.length; i++) { Edge edge = new Edge(data[i][0],data[i][1],data[i][2]); int v = edge.getFrom(); adj[v].add(edge); } } public Iterable<Edge> adj(int vertex) { return adj[vertex]; } public int getVertexsNum() { return vertexsNum; } public int getEdgesNum() { return edgesNum; } //有向图中所有的边 public Iterable<Edge> getEdges() { List<Edge> edges = new ArrayList<>(); for(List<Edge> list : adj) { for(Edge e : list) { edges.add(e); } } return edges; } }
顶点到源点s的最短路径，我们使用一个用顶点索引的Edge数组（edgeTo[]）来存储，使用数组distTo[]来存储最短路径树（包含了源点S到所有可达顶点的最短路径）。
边的松弛操作：
边的松弛过程如下图：
松弛边【1,4】就是检查顶点0到4的最短路径是否是先从顶点0到1，然后在由顶点1到4。如果是则【0,4】边失效，将【1,4】加入最短路径树。
代码：
private void relax(WeightedDigraph wd,Edge e) { int v = e.getFrom(); int w = e.getTo(); if(distTo[w] > distTo[v] + e.getWeight()) { distTo[w] = distTo[v] + e.getWeight(); edgeTo[w] = e; } }
顶点的松弛操作：
顶点的松弛就是松弛顶点的所有邻接边，这里就不给出过程了，实现代码在Dijkstra实现中。
1、Dijkstra算法
算的的实现过程：、
Dijkstra算法的代码实现：
//Dijkstra算法的实现 public class Dijkstra { private Edge[] edgeTo; //最短路径树 private int[] distTo; //存储每个顶点到源点的距离 //索引优先队列，建立distTo和顶点索引，distTo越小，优先级越高 private IndexMinPQ<Integer> pq; public Dijkstra(WeightedDigraph wd, int s) { edgeTo = new Edge[wd.getVertexsNum()]; distTo = new int[wd.getVertexsNum()]; pq = new IndexMinPQ<>(wd.getVertexsNum()); for(int i=0; i<wd.getVertexsNum(); i++) { distTo[i] = Integer.MAX_VALUE; } distTo[s] = 0; //源点s的distTo为0 pq.insert(s, 0); while(pq.isEmpty()) { relax(wd, pq.delMin()); } } //顶点的松弛 private void relax(WeightedDigraph wd, int ver) { for(Edge e : wd.adj(ver)) { int v = e.getTo(); if(distTo[v] > distTo[ver] + e.getWeight()) { distTo[v] = distTo[ver] + e.getWeight(); edgeTo[v] = e; if(pq.contains(v)) { pq.change(v, distTo[v]); }else { pq.insert(v, distTo[v]); } } } } }
Dijkstra算法的局限性：图中边的权重必须为正，但可以是有环图。时间复杂度为O(ElogV)，空间复杂度O（V）。
