红黑树的概念
红黑树是一棵二叉搜索树，但是红黑树通过增加一个存储位表示结点的颜色RED或BLACK。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，因而是接近平衡的。
红黑树的性质
⭐1.每个节点不是红色就是黑色。
⭐2.根节点是黑色的。
⭐3.如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。也就意味着，红黑树没有连续的红色节点。
⭐4.对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。也就是说每条路径都有相同数量的黑色节点。
⭐5.每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点。
从性质上分析红黑树的近似平衡
一颗红黑树最短的路径是这条路径全黑。最长是一红一黑相间路径。
对于近似平衡来说：
①最优情况就是左右平衡，此时每条路径都是全黑或者是一红一黑相间，形成满二叉树。
②差的情况就是左右越不平衡，情况就越差。比如左子树全黑，而右子树是一黑一红相间。假设左子树全黑的路径长度位h = logN，因为红黑树要求每条路径的黑色节点的数量是相同的，而右子树是一红一黑相间的，那就说明右子树的长度是左子树的两倍h = 2*logN，这是最差的情况了，再差点就不是红黑树了。
红黑树节点的定义
红黑树节点的定义，跟AVL树的区别就是红黑树不需要平衡因子，而加入了颜色红跟黑。在定义当中，构造函数初始化列表对颜色_col默认初始化为红色是因为权衡了上面所述红黑树性质中的性质3和性质4。
性质3是说明了红黑树没有连续的红色节点，性质4说明的是每条路径都有相同数量的黑色节点。我们在定义节点的时候，需要给节点的颜色初始化，要么是红色，要么是黑色。
如果我们选择了黑色，那么在插入新节点之前，我们是往红黑树插入的嘛，本身就是红黑树，再插入一个黑色节点的话，那么必定会破坏掉红黑树的规则，是一定被破坏掉的，那么就一定需要对这颗红黑树进行调整。
如果我们选择红色，那么有可能会破坏掉红黑树的规则，也可能不会造成破坏。因为新增的节点的父节点是黑色的，那么就不会造成影响，而父节点是红色的话，那就需要调整。
因此，综上所述，默认初始化为红色是比较好的选择。
//使用枚举 enum Colour { RED, BLACK, }; template<class K,class V> struct RBTreeNode { pair<K, V> _kv; RBTreeNode<K, V>* _left; RBTreeNode<K, V>* _right; RBTreeNode<K, V>* _parent; Colour _col; RBTreeNode(const pair<K,V>& kv) :_kv(kv) ,_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) //跟AVL树一样，使用parent节点是为了旋转 ,_col(RED) //默认是红色 {} };
红黑色的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡限制条件的树，因此红黑树的插入分为两步：
第一步：按照二叉搜索树的规则插入新节点。
第二步：检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏。
判断依据：因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
本文约定好：cur为当前节点，p（parent）为父节点，g（grandther）为祖父节点，u(uncle)为叔叔节点。
①cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
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这种情况是插入的节点cur是红色的（默认），cur的双亲节点和叔叔节点是红色的，祖先节点是黑色的。因为不能连续存在红色节点，那么就需要把颜色调整一下即可，不需要旋转。
调整的方法为：将p节点和u节点的颜色改成黑色，同时为了防止g不是一棵单独的树，先把它变成红色，再进行判断，如果是单独的树，那么就把g的颜色变回黑色，如果是一棵子树，那么就往上继续调整。
②cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
这种情况下是需要旋转+变色的。因为当cur为红色，p为红色，g为黑色，而u的情况是：
如果u不存在，cur肯定是新增的节点，因为在新增之前，p和g组成的树是一棵红黑树，在cur新增之后，不符合红黑树的性质。
这种情况下光凭变色是解决不了问题的，因为u为空说明有一条路径只有根节点，而另一条路径上会存在连续红，只凭变色，无论怎么变，都会导致各路径的黑色节点数量不相同，所以需要先根据p和cur的位置来决定旋转的方向而旋转，再变色。
如果u存在，则u是黑色，并且cur原本的颜色一定是黑色的，而现在cur的颜色是红色，那就肯定是第一种情况调整后，导致了现在的cur的颜色变了。
这种情况下就跟u不存在的情况一样，采用旋转+变色来解决问题。此时，u存在不存在已经没什么关系了（单独是看构造红黑树的情况来说）。
③cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑
这种情况的颜色是跟情况二的一样，区别就是节点的位置不一样。
这种情况是跟第二中情况差不多，就是多了一步旋转，先左旋再右旋，或者先右旋再左旋。
整体代码如下：
template<class K,class V> class RBTree { typedef RBTreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv) { //先按二叉搜索树的规矩来创建一棵二叉搜索树 if (_root==nullptr) { _root = new Node(kv); //因为红黑树的根节点是黑色的 _root->_col = BLACK; return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } } cur = new Node(kv); cur->_col = RED;//多写一步，防止写错代码。 if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } else { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } //创建完二叉搜索树 //开始创建红黑树，使用颜色来判断是否需要调整 //循环往上走，循环条件：当走到的parent不为空，并且parent是红色的 //即我们列举是三种情况，parent都是红的，就需要重新调整 //如果parent是黑色的，那就不需要了。直接就是一棵红黑树,不进入循环 while (parent && parent->_col == RED) { //保存祖先节点，即g节点 Node* grandfther = parent->_parent; //判断父节点是在祖先节点的哪边 if (parent == grandfther->_left) { //父节点在左边，那么叔叔节点就在右边 Node* uncle = grandfther->_right; //情况一：uncle存在且为红。改变颜色即可 if (uncle && uncle->_col == RED) { //变色。 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfther->_col = RED; //往上走 cur = grandfther; parent = cur->_parent; } else //uncle不存在 或者 存在但是黑色 { //情况二 p是g的左孩子，cur是p的左孩子，以g为轴右单旋 if (cur == parent->_left) { //右单旋 RotateR(grandfther); //变色 右单旋后，parent为根节点，变黑色。cur和g节点为红色 parent->_col = BLACK; grandfther->_col = RED; } else //情况三 p是g的左孩子，cur是p的右孩子. { //先以p为轴左旋转 RotateL(parent); //变成情况二，再以g为轴右单旋 RotateR(grandfther); //变色 cur变成根节点，为黑色。p和g是红色 cur->_col = BLACK; grandfther->_col = RED; } break; } } else //parent是在grandfther的右边 { //叔叔节点就在祖先节点的左边 Node* uncle = grandfther->_left; //情况一：uncle存在且为红。改变颜色即可 if (uncle && uncle->_col == RED) { //变色。 parent->_col = uncle->_col = BLACK; grandfther->_col = RED; //往上走 cur = grandfther; parent = cur->_parent; } else //uncle不存在 或者 存在但是黑色 { //情况二 p是g的右孩子，cur是p的右孩子。 if (cur == parent->_right) { //左单旋 RotateL(grandfther); //变色 右单旋后，parent为根节点，变黑色。cur和g节点为红色 parent->_col = BLACK; grandfther->_col = RED; } else //情况三 p是g的右孩子，cur是p的左孩子. { //先以p为轴右旋转 RotateR(parent); //变成情况二，再以g为轴左单旋 RotateL(grandfther); //变色 cur变成根节点，为黑色。p和g是红色 cur->_col = BLACK; grandfther->_col = RED; } break; } } } //最后将根节点置为黑 _root->_col = BLACK; return true; } void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) { subLR->_parent = parent; } Node* ppNode = parent->_parent; subL->_right = parent; parent->_parent = subL; if (ppNode == nullptr) { _root = subL; _root->_parent = nullptr; } else { if (ppNode->_left == parent) { ppNode->_left = subL; } else { ppNode->_right = subL; } subL->_parent = ppNode; } } void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) { subRL->_parent = parent; } Node* ppNode = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (ppNode == nullptr) { _root = subR; _root->_parent = nullptr; } else { if (ppNode->_left == parent) { ppNode->_left = subR; } else { ppNode->_right = subR; } subR->_parent = ppNode; } } private: Node* _root = nullptr; };
旋转请看：AVL树这篇文章有详细解析。红黑树的旋转直接复用AVL树的旋转的代码即可。
验证红黑树
红黑树的验证分两步：①通过中序遍历验证其是否满足二叉搜索树的性质。②验证是否满足红黑树的性质。
中序遍历：
void Inorder() { _Inorder(_root); } void _Inorder(Node* root) { if (root == nullptr) return; _Inorder(root->_left); cout << root->_kv.first << ": " << root->_kv.second << endl; _Inorder(root->_right); }
验证红黑树的性质：
验证思路：
①首先判断根节点的颜色是否为黑色，如果不是黑色，那就直接否定false。这一步是在验证红黑树的性质之一：根的颜色是黑色的。
②接着随便选一条路径并统计这条路径上的黑色节点的数量。
③拿着统计好的结果，去遍历其它路径各自的黑色节点的数量是否与这个结果相等，但凡有一条结果不一样，直接false这一步是在验证红黑树的性质之一：每条路径上的黑色节点是数量是相等的。
④在验证③的过程中，如果发现当前节点与父节点都是红色的，直接false。这一步是验证红黑树的性质之一：不能出现连续的红色节点。
代码如下：
//遍历其它路径 bool Check(Node* root, int blackNum, const int ref) { //当走到空节点后，就可以对比数量 if (root == nullptr) { //选择打印数量，看看结果对不对 cout << blackNum << endl; //如果不相等，false if (blackNum != ref) { cout << "违反规则：本条路径的黑色节点的数量跟最左路径不相等" << endl; return false; } return true; } //判断当前节点跟它的父亲节点是否都是红的 if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) { cout << "违反规则：出现连续红色节点" << endl; return false; } //如果节点是黑色的，++ if (root->_col == BLACK) { ++blackNum; } //通过递归，去遍历其它的路径 return Check(root->_left, blackNum, ref) && Check(root->_right, blackNum, ref); } bool IsBalance() { //首先看看是不是空树，空树也是红黑树 if (_root == nullptr) { return true; } //判断根节点是否为黑色，不是黑色就false if (_root->_col != BLACK) { return false; } //统计某一条路径的黑色节点的数量 int ref = 0; //这里选择最左边的路径 Node* left = _root; while (left) { if (left->_col == BLACK) { //当节点是黑色，就++一下 ++ref; } left = left->_left; } //去寻找别的路径上的黑色节点 return Check(_root, 0, ref); }
红黑树与AVL树的对比
⭐相同点：红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log_2 N)。
⭐不同点：红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言降低了插入和旋转的次数。而AVL树是高度平衡的二叉搜索树，旋转的次数比红黑树的要频繁。
所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。
也就是因为红黑树在修改操作方面的性能比AVL树好，因此红黑树都用在了C++的STL库(map/set、mutil_map/mutil_set)，Java库、Linux内核等等地方。
