时间复杂度

时间复杂度
算法复杂度

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
作用：
时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
1.时间复杂度
(1)语法执行次数
算法的语句执行次数，记为T(n)。
算法的实际语句执行次数，记为f(n)。
注：在数值上，T(n)的数量级是小于等于f(n)

(2)时间复杂度
当n趋近于无穷大时，T(n)/f (n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，则称O(f(n)) 为算法的时间复杂度。

时间复杂度计算
一、时间复杂度引入
例如：该算法执行次数为T(n)=2

int main()
{
cout<<"Hello";//执行1次
return 0;//执行1次
}
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例如：该算法执行次数为T(n)= (1+n + 1 + n + 1) = 2n + 3

int main() {

int n=100;//执行1次
for(int i = 0; i<n; i++) {// 执行 (n + 1) 次
    printf("Hello, World!\n");// 执行 n 次
}
return 0;// 执行 1 次

}
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1、当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，记该算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。
例如：T(n)=n+1 忽略常数项，时间复杂度为O(n)。

2、高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。
例如：T(n)=n+n^2 忽略低阶项，时间复杂度为O(n^2)。

3、因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。

例如：T(n)=3n^4 忽略最高阶的系数，时间复杂度为O(n^4)。

注意：可根据下图大小关系，可对较小的进行忽略

二、时间复杂度计算
1.对于一个循环，循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。

int main() {

int n=100;//执行次数为1
for(int i = 0; i < n; i++) {//循环次数为n
    cout<<"Hello, World!"<<endl;// 循环体时间复杂度为 O(1)
}

}
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此时时间复杂度为 O(1+n × 1)，即 O(n)。

2.对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c…，则这个循环的时间复杂度为O(n×a×b×c…)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

int main() {

int n=100;//执行次数为1
for(int i = 0; i < n; i++) {// 循环次数为 n
    for(int j = 0; j < n; j++) {// 循环次数为 n
        cout<<"Hello, World!"<<endl;// 循环体时间复杂度为 O(1)
    }
}

}
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此时时间复杂度为 O(1+n × n × 1)，即 O(n^2)。

3.对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中时间复杂度最大的路径的时间复杂度。

int main() {

int n=100;
if (n >= 0) {
    // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            cout<<"输入数据大于等于零\n"<<endl;
        }
    }
} else {
    // 第二条路径时间复杂度为 O(n)
    for(int j = 0; j < n; j++) {
        cout<<"输入数据小于零\n"<<endl;
    }
}

}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

时间复杂度的例题：

int s=1;
while(s<n)
{

s=s*2;

}

每循环一次，s就给自身乘2，乘了x次就跳出循环了。2^x=n，得x=logn。所以O(n)=logn。
二分法
一、快速排序算法模板
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{

if (l >= r) return;

int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
while (i < j)
{
    do i ++ ; while (q[i] < x);
    do j -- ; while (q[j] > x);
    if (i < j) swap(q[i], q[j]);
}
quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);

}