最后一块石头的重量 II（LeetCode 1049）

Description

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

Sample Input 1

stones = [2,7,4,1,8,1]

Sample Output 1

1

Sample Tips 1

组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，

组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，

组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，

组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

Sample Input 2

stones = [31,26,33,21,40]

Sample Output 2

5

Tips

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

算法思想：

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。

本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。

   可以回忆一下01背包中，dp[j]的含义，容量为j的背包，最多可以装的价值为 dp[j]。

   相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] ，可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

2. 确定递推公式

   01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

   本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3. dp数组如何初始化

   既然 dp[j]中的j表示容量，那么最大容量（重量）是多少呢，就是所有石头的重量和。

   因为提示中给出1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 1000，所以最大重量就是30 * 1000 。

   而我们要求的target其实只是最大重量的一半，所以dp数组开到15000大小就可以了。

   当然也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。

   这里直接用15000。

   接下来就是如何初始化dp[j]呢，因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

   代码如下：

   vector<int> dp(15001, 0);

4. 确定遍历顺序

   如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

   代码如下：

   for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
       for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
           dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
       }
   }

5. 推导dp数组

   举例，输入：[2,4,1,1]，此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ，

   dp数组状态图为：

   下标i:    0 1 2 3 4 
   store[0]  0 0 2 2 2 
   store[1]  0 0 2 2 4
   store[2]  0 1 2 3 4  
   store[3]  0 1 2 3 4 

   最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

   那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。

   在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

   那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

综上分析完毕，代码如下：

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        vector<int> dp(15001, 0);
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];
        int target = sum / 2;
        for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - dp[target] - dp[target];
    }
};

Java代码代码如下：

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        int sum = 0;
        for (int i : stones) {
            sum += i;
        }
        int target = sum >> 1;
        //初始化dp数组
        int[] dp = new int[target + 1];
        for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
            //采用倒序
            for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
                //两种情况，要么放，要么不放
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}